[論文レビュー] On a certain class of $g$-functions for subshifts

Wolfgang Krieger|ArXiv.org|Dec 13, 2006

Cellular Automata and Applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、性質(D)を満たす符号的サブシフトに対して、残留的に定義された連続g関数を導入し、このようなg関数とシャノングラフ内の残留的収縮性頂点集合の間の一対一対応を確立する。主な貢献は、有限型サブシフトを超えるg関数理論を拡張するため、残留的収縮性測度λ-グラフ系を用いた性質(D)を満たすサブシフトの特徴付けである。

ABSTRACT

A property $(D)$ of subshifts was defined in: Wolfgang Krieger, On $g$-functions for subshifts, IMS Lecture Notes- Monograph Series, Vol. 48, Dynamics & Stochastics (2006) 306 - 316, arXiv:math.DS/0608259. With a view towards a theory of $g$-fnctions beyond the case of finte type subshifts partially defined continuous $g$-functions of property $(D)$ subshifts are studied.

研究の動機と目的

• 有限型サブシフトを超えるg関数理論を拡張するために、残留的に定義された連続g関数を導入すること。
• このようなg関数を許容するサブシフトを特徴付けるために、新たな構造的性質(D)を導入すること。
• 残留的に定義されたg関数とシャノングラフ内の残留的収縮性頂点集合の間の対応関係を確立すること。
• 性質(D)が、残留的収縮性測度λ-グラフ系による表現の存在と同値であることを示すこと。
• 残留的収縮構造を介して、残留的に定義されたg関数の文脈における強いシフト同値の基礎を築くこと。

提案手法

• サブシフトX上の残留的に定義されたg関数gを導入し、その定義域D⁻(g)がX₍₋∞,₀₎の稠密Gδ集合であることを定義する。
• サブシフトに対する性質(D)を定義する：任意の許容的語bσに対して、σ ∈ ω⁺₁(ab)を満たすa ∈ Γ⁻(b)が存在する。
• 残留的に定義されたg関数から、Σ上の確率測度の空間における残留的収縮性頂点集合M(g)への写像を構成する。
• サブシフトが残留的に定義されたg関数を許容するための必要十分条件として、性質(D)が成り立つことを、残留的収縮性頂点集合との双対性を用いて示す。
• D⁻(g)の連続性と稠密性を用いてg測度を定義し、このような測度が集合E(g)に含まれる稠密Gδ集合に台を持つことを証明する。
• 測度λ-グラフ系を用いて残留的収縮構造を表現し、逆にそれらがg関数を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなサブシフトが残留的に定義された連続g関数を許容するか？
• RQ2 サブシフトにどのような構造的条件が、このようなg関数の存在を保証するか？
• RQ3 残留的に定義されたg関数はどのように分類またはパラメータ化できるか？
• RQ4 残留的に定義されたg関数と測度λ-グラフ系の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 残留的収縮構造を介して、残留的に定義されたg関数へと強いシフト同値を拡張できるか？

主な発見

• サブシフトが残留的に定義された連続g関数を許容するのは、それが性質(D)を満たすときかつそのときに限る。
• 残留的に定義されたg関数のg測度の集合は、サブシフトの稠密Gδ部分集合E(g)に台を持つ。
• 残留的に定義されたg関数とシャノングラフ内の残留的収縮性頂点集合の間には一対一対応が存在する。
• 任意の残留的に定義されたg関数gに対して、関連する頂点集合M(g)は残留的収縮的であり、サブシフトXを表現する。
• 残留的収縮性頂点集合からg関数への写像は可逆であり、g_M(g) = g かつ M(g_M) = M が成り立つ。
• サブシフトが性質(D)を満たすことは、それが残留的収縮性測度λ-グラフ系による表現を許容することと同値である。