[論文レビュー] On a certain extension of the Riemann-Liouville fractional derivative operator

Gauhar Rahman, Nisar Kottakkaran Kottakkaran Sooppy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2018

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、2つのパラメータ p と q を持つ拡張されたベータ関数を組み込み、さらに合流超幾何関数 1F1 を用いて一般化されたリーマン＝リウヴィル分数階微分作用素の新規拡張を導入する。主な貢献は、メリン変換関係の導出および拡張された超幾何関数とアペル関数への関連の確立であり、これにより、新しい積分表現および特殊関数（ミッターグルーファー関数やフォックス＝ライツ関数など）に対する新しい作用素的公式が可能になる。

ABSTRACT

The main aim of this present paper is to present a new extension of the fractional derivative operator by using the extension of Beta function recently defined by Shadab et al.[19]. Moreover, we establish some results related to the newly defined modified fractional derivative operator such as Mellin transform and relations to extended hypergeometric and Appell's function via generating functions.

研究の動機と目的

• 2つのパラメータ p と q を持つ一般化されたベータ関数を組み込むことで、リーマン＝リウヴィル分数階微分作用素の新規拡張を構築すること。
• 新しい分数階微分作用素に関連するメリン変換および生成関数を含む作用素的公式を確立すること。
• 拡張された作用素と特殊関数（拡張された超幾何関数およびアペル関数など）との関連を調査すること。
• 追加のパラメータおよび特殊関数の要素を導入することにより、古典的分数階微分に対する既知の結果を一般化すること。
• パラメータの特定の極限において古典的および既存の拡張形に還元される統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 拡張された分数階微分作用素は、核 (x−t)^{-μ−1} と指数関数的要因 exp(−px/t − qx/(x−t)) を含む積分変換によって定義され、古典的なリーマン＝リウヴィル形式を一般化する。
• 指数関数的要因を、2つの合流超幾何関数 1F1(λ;ρ;−px/t) および 1F1(λ;ρ;−qx/(x−t)) の積に置き換えることで、さらに作用素を拡張し、追加の形状パラメータ λ と ρ を導入する。
• 拡張されたベータ関数 Bp,q(x,y) = ∫₀¹ t^{x−1}(1−t)^{y−1} exp(−p/t − q/(1−t)) dt を用いた積分表現を用いて、新しい作用素のメリン変換が導出される。
• 本稿では、拡張された分数階微分作用素と拡張された超幾何関数 pFq およびアペルの関数 F1 を結びつける生成関数関係が確立される。
• 本手法には、項別積分および特殊関数の級数展開を含む作用素計算の技術が用いられる。
• 極限ケース（例：p=q=0 または λ=ρ）において、古典的および既に知られた拡張された分数階微分作用素が回復されることを示すことで、フレームワークの妥当性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2パラメータのベータ関数および関連する特殊関数を用いて、リーマン＝リウヴィル分数階微分をどのように拡張できるか？
• RQ2 パラメータ p, q, λ, ρ を持つ新規に定義された分数階微分作用素のメリン変換の性質は何か？
• RQ3 拡張された分数階微分作用素は、拡張された超幾何関数およびアペル関数とどのように関連するか？
• RQ4 新しい作用素は、ミッターグルーファー関数やフォックス＝ライツ関数などの一般化された特殊関数に対して、閉形式の表現を生成できるか？
• RQ5 パラメータが古典的状態に還元されるとき、拡張された作用素の極限的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 拡張された分数階微分作用素のメリン変換は、関数のメリン変換と、拡張されたベータ関数を含む一般化された超幾何関数の積として導出される。
• 新しい作用素による z^{σ−1} の分数階微分は、拡張されたベータ関数 Bp,q(σ, −μ) を含む表現を得る。これは、古典的結果 Γ(σ+1)/Γ(σ−μ+1) z^{σ−μ} を一般化する。
• ミッターグルーファー関数 Eγ,δ^μ(z) の分数階微分は、Bp(η+k, ω−η)/B(η,ω−η) を含む新しい p-ミッターグルーファー型関数を導出し、新たな作用素的恒等式を確立する。
• フォックス＝ライツ関数 mΨn の分数階微分は、拡張されたベータ関数 Bp^α(η+k, μ−η) を含む級数として表現され、新たな作用素的公式が得られる。
• α=1 かつ p=0 のとき、結果は古典的リーマン＝リウヴィル分数階微分に還元され、既存の理論と整合性が確認される。
• λ=ρ のとき、結果は既に知られている拡張形（例：Rahman ら [16]）に還元され、その一般性および統合的役割が検証される。