[論文レビュー] On A Class of Finsler Metrics of Einstein-Reversibility

Guojun Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Finsler計量におけるEinstein反転可能性の概念を導入し、$p$-乗数 $(\alpha,\beta)$-計量がEinstein反転可能であるための必要十分条件として、Einstein計量であることであることを証明する。$p=1$（Randers）、$p=2$（平方）、および2次元の平方根（$p=1/2$）を除き、すべてのこのような計量はリッチ平坦平行である。2次元平方根計量がEinstein的である場合、旗曲率はスカラー関数 $u$、$v$、$B$ を含む偏微分方程式系によってほぼ完全に決定され、明示的に表現される。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of Einstein-reversibility for Finsler met- rics. We study a class of p-power Finsler metrics determined by a Riemann metric and 1-form which are of Einstein-reversibility. It shows that such a class of Finsler metrics of Einstein-reversibility are always Einstein metrics. In particular, we show that all p-power metrics but Randers metrics, square metrics and 2-dimensional square-root metrics, are always Ricci-flat-parallel. Further, the local structure is almost determined for 2-dimensional square-root metrics which are Einsteinian (equivalently, of isotropic flag curvature), and examples show such metrics are not necessarily Ricci-flat.

研究の動機と目的

• Finsler幾何におけるEinstein反転可能性の性質を定義・研究すること。Einsteinスカラー $\lambda(x,y)$ が $\lambda(x,y) = \lambda(x,-y)$ を満たすことを要件とする。
• 形 $F = \alpha(1 + \beta/\alpha)^p$ の $p$-乗数 $(\alpha,\beta)$-計量のEinstein反転可能性とその幾何的意味を調査すること。
• 2次元平方根計量（$p=1/2$）がEinstein的である、すなわち旗曲率が等方的である場合の局所的構造を特定すること。
• このような計量がリッチ平坦平行であるための条件を特定し、$\beta$ が閉形式または平行である役割を明確にすること。

提案手法

• Einsteinスカラー $\lambda(x,y)$ を用いたEinstein反転可能性の概念を導入する。$Ric(x,y) = (n-1)\lambda(x,y)F^2$ と定義し、$\lambda(x,y) = \lambda(x,-y)$ を要求する。
• $\alpha$ をRiemann計量、$\beta$ を1次形式とする $p \neq 0$ の $p$-乗数 $(\alpha,\beta)$-計量 $F = \alpha(1 + \beta/\alpha)^p$ を分析する。
• Einstein反転可能性の条件を用いて、$\alpha$ と $\beta$ の構造を支配する微分方程式を導出する。特に $p=1,2,1/2$ の場合に注目する。
• Killing形式と複素解析関数の理論を応用し、2次元における $\widetilde{\beta}$ と $\alpha$ のパラメータ化を行い、問題を偏微分方程式系の解法に還元する。
• 積分可能性条件 $\sigma_{12} = \sigma_{21}$ を用いて、旗曲率 $\mathbf{K}$ を $B = \|\beta\|_\alpha^2$、$u$、$v$、$\sigma$ の関数として明示的に導出する。
• 導出した偏微分方程式制約下で、曲率方程式に代入することでEinstein条件が恒等的に満たされることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-乗数 $(\alpha,\beta)$-計量がEinstein反転可能であるのはいつか？ そしてこれはEinstein計量であることとどのように関係するか？
• RQ2 $p$-乗数 $(\alpha,\beta)$-計量がリッチ平坦平行であるのはどの $p$ の値か？ $\beta$ が閉形式または平行である役割は何か？
• RQ3 2次元平方根計量（$p=1/2$）がEinstein的である場合の局所的構造は何か？ どのようにパラメータ化できるか？
• RQ4 このような2次元計量の旗曲率は関数 $u$、$v$、$B$ にどのように依存するか？
• RQ5 Einsteinスカラー $\lambda(x,y)$ が反転可能である条件は何か？ これはリッチまたは測地線反転可能性とはどのように異なるか？

主な発見

• $p$-乗数 $(\alpha,\beta)$-計量がEinstein反転可能であるための必要十分条件は、それがEinstein計量であることである。このクラスでは強い同値性が確立される。
• $p=1$（Randers）、$p=2$（平方）、および2次元における $p=1/2$（平方根）を除き、すべての $p$-乗数計量はリッチ平坦平行である。これは $\alpha$ がリッチ平坦であり、$\beta$ が $\alpha$ に関して平行であることを意味する。
• 2次元平方根計量がEinstein的である場合、局所的構造はスカラー関数 $u(x), v(x), B(x)$ によってほぼ完全に決定され、$u_1 = v_2$、$u_2 = -v_1$、$uB_1 + vB_2 = 0$ を満たす。$\alpha$ と $\beta$ は $B, u, v$ を用いて表現される。
• このような2次元計量の旗曲率 $\mathbf{K}$ は $\mathbf{K} = \frac{(B-4)^2 (uB_2 - vB_1)^2}{64B\sqrt{1-B}}$ で与えられ、$B$ の微分と関数 $u,v$ に明示的な依存関係を示す。
• Einsteinスカラー $\lambda(x,y)$ が反転可能であるための条件は、$\lambda(x,y) = \lambda(x,-y)$ であることであり、これは $p$-乗数クラスにおいてEinstein計量であることと同値である。
• 偏微分方程式系 (3) の下で、局所的パラメータ化 $\alpha = \frac{\sqrt{B}}{(1-B)^{3/4}} \frac{\sqrt{(y^1)^2 + (y^2)^2}}{\sqrt{u^2 + v^2}}$、$\beta = \frac{B}{(1-B)^{3/4}} \frac{uy^1 + vy^2}{u^2 + v^2}$ が成り立ち、旗曲率は等方的である。