[論文レビュー] On a Class of Matrix Pencils Equivalent to a Given Matrix Polynomial

Dario A. Bini, Leonardo Robol|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、与えられた行列多項式 P(x) と同等の新しい行列ペンシル A(x) を導入する。この A(x) は、互いに素な首項多項式と調整された行列多項式を用いて、対角行列＋低ランク更新構造として構築される。この手法により、特に一般化ペルールの定理およびトロピカル根を用いた根の選択において、P(x) よりも顕著に数値的安定性が向上する、固有値問題の条件数が改善される。

ABSTRACT

Abstract. We say that an mˆm matrix polynomial P pxq “ řni“0 Pixi is equivalent to an mqˆ mq matrix polynomial Apxq, and write Apxq « P pxq, if there exist mqˆmq matrix polynomials Epxq, F pxq such that detEpxq and detF pxq are nonzero constants and EpxqApxqF pxq “ Impq´1q ‘ P pxq. Given P pxq of degree n we provide an mq ˆmq matrix polynomial Apxq such that: Apxq « P pxq, A#pxq « P#pxq, where P#pxq “ xnP px´1q is the reversed polynomial of P pxq; Apxq has the form Apxq “ Dpxq ` rIm,..., ImstrW1pxq,...,Wqpxqs, where Dpxq is a diagonal matrix defined by Dpxq “ diagpb1pxqIm,..., bq´1pxqIm, bqpxqPn ` sIm, the polynomials b1pxq,..., bqpxq are any co-prime monic polynomials of degree d1,..., dq, respectively, while W1pxq,...,Wqpxq are matrix polynomials of degree less than d1,..., dq where d1 ` ¨ ¨ ¨ ` dq “ n and s is a constant which makes bqpxqPn ` sIm nonsingular modulo bipxq, i “ 1,..., q ´ 1. An explicit expression of the eigenvectors of Apxq as functions of the eigenvalues is proven. For bipxq “ px ´ βiqIm, i “ 1,..., n, the matrix polynomial Apxq is a linear pencil of the form diagonal plus low-rank. Numerical experiments show that for suitable choices of β1,..., βn obtained by means of the generalized Pellet theorem and the use of tropical roots, the eigenvalue problem for Apxq is much better conditioned than the eigenvalue problem for P pxq.

研究の動機と目的

• 与えられた行列多項式 P(x) と同等の行列ペンシル A(x) を構築すること。このとき、A(x) とその逆行列形式 A#(x) がそれぞれ P(x) と P#(x) と同等となるようにすること。
• 得られる A(x) の固有値問題が、P(x) よりも良好な条件数を持つようにすること。特に高次または悪条件な多項式に対して有効である。
• A(x) を、互いに素な首項多項式と次数制限付き行列多項式を用いた、対角ブロックと低ランク更新を組み合わせた構造的行列多項式として構築すること。
• 固有ベクトルが固有値の関数として明示的に得られることを保証し、直接的なスペクトル解析を可能にすること。
• 一般化ペルールの定理およびトロピカル根を用いた最適な根の選択が、A(x) の条件数を顕著に改善することを数値的に示すこと。

提案手法

• ユニモジュラー行列多項式 E(x) および F(x) を用いて、E(x)A(x)F(x) = I_{m(n-1)} ⊕ P(x) を満たすことで、構造的同等性を定義する。
• A(x) を D(x) + [Im,...,Im]s[W1(x),...,Wq(x)] の形に構築する。ここで D(x) は、次数 d1,...,dq の多項式 b1(x),...,bq(x) を対角成分に持つブロック対角行列で、その次数の総和が n に等しい。
• b1(x),...,bq(x) を指定された次数 d1,...,dq に対して、互いに素な首項多項式として選択し、構造的一意性と可逆性条件を満たす。
• i=1,...,q-1 に対して、bi(x) を法として bq(x)Pn + sIm が非特異となるように定数 s を適切に選ぶ。
• 一般化ペルールの定理およびトロピカル根を用いて、A(x) の固有値問題が良好に条件付けられる根 β1,...,βn を選択する。
• 固有値の関数として A(x) の固有ベクトルの明示的表現を導出し、スペクトル解析および後退誤差制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A(x) が P(x) およびその逆行列多項式 P#(x) と両方同等となるような行列ペンシルを構築することは可能か？
• RQ2 A(x) の構造をどのように設計すれば、P(x) よりも固有値問題の条件数が向上するか？
• RQ3 互いに素な首項多項式と低ランク更新は、固有値計算の数値的安定性を確保するために果たす役割は何か？
• RQ4 A(x) に対して固有値の関数として明示的な固有ベクトル表現を導出可能か？また、それらはスペクトル解析にどのように寄与するか？
• RQ5 一般化ペルールの定理およびトロピカル根に基づく根選択戦略は、A(x) の条件数をどの程度向上させるか？

主な発見

• 構築された行列ペンシル A(x) は、P(x) およびその逆行列多項式 P#(x) と両方同等であり、構造的およびスペクトル的整合性が保証される。
• A(x) は対角行列＋低ランク更新の形をとり、次数の総和が n に等しくなるように、指定された次数の互いに素な首項多項式 b1(x),...,bq(x) で定義されるブロック構造を持つ。
• 定数 s は、i=1,...,q-1 に対して bi(x) を法として bq(x)Pn + sIm が非特異となるように選ばれ、可逆性と安定性が保証される。
• A(x) の固有ベクトルは固有値の関数として明示的に導出され、直接的なスペクトル解析および後退誤差制御が可能になる。
• 数値実験により、β1,...,βn が一般化ペルールの定理およびトロピカル根を用いて選択された場合、A(x) の固有値問題は P(x) よりも顕著に良好な条件数を持つことが確認された。
• 特別な場合、bi(x) = (x - βi)^m のとき、A(x) は対角行列＋低ランクの形の線形ペンシルとなり、数値的に有利である。