[論文レビュー] On a class of polynomial Lagrangians

Marcella Palese, Raffaele Vitolo|ArXiv.org|Nov 9, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、射影空間上の低次の形式の水平化として定義される新しい多項式ラグランジアンのクラス——「特別ラグランジアン」と呼ばれるもの——を導入し、解析する。変分双複体の枠組みを用いて、これらのラグランジアンが一意なポincare–カルタン形式、オイラー–ラグランジュ形式、および運動量をもたらすことが示され、ヒルベルト–アインシュタインラグランジアンがその主要な例として挙げられる。ここでは生成形式の運動量が消えることにより、変分系列形式における一般相対性理論における深い幾何的構造が明らかになる。

ABSTRACT

In the framework of finite order variational sequences a new class of Lagrangians arises, namely, \emph{special} Lagrangians. These Lagrangians are the horizontalization of forms on a jet space of lower order. We describe their properties together with properties of related objects, such as Poincaré--Cartan and Euler--Lagrange forms, momenta and momenta of generating forms, a new geometric object arising in variational sequences. Finally, we provide a simple but important example of special Lagrangian, namely the Hilbert--Einstein Lagrangian.

研究の動機と目的

• 有限次元射影空間における低次の形式の水平化として定義される新しい多項式ラグランジアンのクラス——「特別ラグランジアン」——を定義し、特徴づけること。
• 変分系列の文脈において、ポincare–カルタン形式、オイラー–ラグランジュ形式、および運動量の幾何的構造を明確にすること。
• 変分双複体と水平化を用いた、これらの対象を計算するための厳密な枠組みを確立すること。
• 一般相対性理論における物理的に重要な例として、ヒルベルト–アインシュタインラグランジアンを用いて理論を実証すること。
• 生成形式の運動量が、マルチシンプレクティック場理論における新たな幾何的対象として果たす役割を探索すること。

提案手法

• クリュッパの理論に基づく有限次元変分系列枠組みを用い、de Rham複体と水平化から変分双複体を構成する。
• r次形式のn形式の水平化として特別ラグランジアンを定義し、n形式の商空間と(r+1)次特別ラグランジアンの間の同型を確立する。
• 水平化および幾何的グリーンの公式を適用し、生成(n+1)形式をオイラー–ラグランジュ形式と全発散に分解する。
• 生成形式の運動量を水平化微分の発散部として導入・分析し、特定の条件下での一意性を証明する。
• 変分双複体の可換性を用いて、オイラー–ラグランジュ形式の別表現を導出する。
• ヒルベルト–アインシュタインラグランジアンを具体的な実装とし、そのポincare–カルタン形式、運動量、およびオイラー–ラグランジュ形式を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次の形式の水平化として定義される特別ラグランジアンの幾何的および代数的性質は何か？
• RQ2 変分双複体を用いた場合、特別ラグランジアンに対するポincare–カルタン形式はどのように一意に特徴づけられるか？
• RQ3 変分系列枠組みにおいて、生成形式の運動量の役割と一意性は何か？
• RQ4 ヒルベルト–アインシュタインラグランジアンは、その運動量およびオイラー–ラグランジュ形式の観点から理論をどのように具体化するか？
• RQ5 生成形式の運動量が消えることは可能であり、それは理論の幾何的構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• r+1次特別ラグランジアンは、JrY 上の変分系列におけるn形式の商空間と水平化により同型である。
• 特別ラグランジアンλに対するポincare–カルタン形式θは、3つの条件によって一意に特徴づけられる：h(θ) = λ、v(θ) ∈ 1C2r ∧ n−1H2r、およびh(dθ) = Eh(dθ)。これにより、h(dθ)の運動量をゼロに選ぶことが可能になる。
• 生成形式が2次またはdim X = 1の場合、運動量は一意に決定される。3次の場合、自然に選べる。
• ヒルベルト–アインシュタインラグランジアンλHEは2次特別ラグランジアンであり、そのポincare–カルタン形式θλHEはh(θλHE) = λHEを満たす。
• ヒルベルト–アインシュタインラグランジアンのオイラー–ラグランジュ形式EdλHEは、アインシュタインテンソルG = R − 1/2 s gに等しく、直接的および双複体を介した両方の方法で計算可能である。
• 自然な生成形式h(dθλHE)の運動量はゼロ形式であり、これは一般相対性理論の幾何的構造に特有の特徴である。