[論文レビュー] On a Class of Quantum Canonical Transformations and the Time-Dependent Harmonic Oscillator

Alí Mostafazadeh|ArXiv.org|Dec 12, 1996

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ユニタリ演算子 $ e^{i\epsilon(t)\sqrt{f(x)}p\sqrt{f(x)}} $ によって生成される量子正準変換のクラスを導入し、$ f(x) = x $ の場合、位置演算子と運動量演算子がそれぞれ $ e^{\epsilon(t)} $ および $ e^{-\epsilon(t)} $ にスケーリングされることを示している。これにより、時間に依存する調和振動子の新たな正確に解けるクラスが特定され、質量 $ m = m_0 e^{\gamma t} $ のCaldirola-Kanai振動子を含む。また、空間の計量の変更により、位置に依存する質量を持つ自由粒子が定数質量を持つ自由粒子に写像されることも示している。

ABSTRACT

Quantum canonical transformations corresponding to the action of the unitary operator $e^{iε(t)\sqrt{f(x)}p\sqrt{f(x)}}$ is studied. It is shown that for $f(x)=x$, the effect of this transformation is to rescale the position and momentum operators by $e^{ε(t)}$ and $e^{-ε(t)}$, respectively. This transformation is shown to lead to the identification of a previously unknown class of exactly solvable time-dependent harmonic oscillators. It turns out that the Caldirola-Kanai oscillator whose mass is given by $m=m_0 e^{γt}$, belongs to this class. It is also shown that for arbitrary $f(x)$, this canonical transformations map the dynamics of a free particle with constant mass to that of free particle with a position-dependent mass. In other words, they lead to a change of the metric of the space.

研究の動機と目的

• 量子正準変換を用いて、時間に依存する調和振動子の新たな正確に解けるクラスを同定すること。
• 量子力学におけるユニタリ演算子 $ e^{i\epsilon(t)\sqrt{f(x)}p\sqrt{f(x)}} $ の物理的意味を調査すること。
• これらの変換が、位置に依存する質量を持つ自由粒子を定数質量を持つ自由粒子に写像し、空間の計量を効果的に変更することを示すこと。
• 標準的手法を超えて、時間に依存する量子系の解構造を一般化すること。
• 特に時間に依存する設定において、正準変換と解けるモデルとの間の関係を確立すること。

提案手法

• 論文は、ユニタリ演算子 $ e^{i\epsilon(t)\sqrt{f(x)}p\sqrt{f(x)}} $ を量子正準変換の生成子として分析している。
• $ f(x) = x $ の場合、変換が位置演算子と運動量演算子をそれぞれ $ x \to e^{\epsilon(t)}x $、$ p \to e^{-\epsilon(t)}p $ にスケーリングすることを示している。
• この手法は、演算子恒等式とBaker-Campbell-Hausdorff技術を用いて、ユニタリ演算子が正準演算子に及ぼす作用を計算することに依存している。
• 変換は自由粒子のハミルトニアンに適用され、有効な力学において位置に依存する質量を誘導することが示されている。
• 変換下での空間の有効計量を導出し、内積構造の変更に対応していることを示している。
• 時間に依存する質量パラメータを一致させることで、結果の力学が既知の解けるモデル、特にCaldirola-Kanai振動子に一致することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ演算子 $ e^{i\epsilon(t)\sqrt{f(x)}p\sqrt{f(x)}} $ が量子演算子に及える物理的効果は何か？
• RQ2 この変換クラスは、時間に依存する量子力学における新たな正確に解けるモデルを生じるか？
• RQ3 この変換は、位置に依存する質量を持つ自由粒子の力学とどのように関係するか？
• RQ4 この変換は、基礎となるヒルベルト空間の計量に変化を引き起こすか？
• RQ5 Caldirola-Kanai振動子は、このより広範な時間に依存する調和振動子の解けるクラスの特別な場合であるか？

主な発見

• 関数 $ f(x) = x $ を用いた変換は、位置と運動量演算子をそれぞれ $ e^{\epsilon(t)} $ および $ e^{-\epsilon(t)} $ にスケーリングし、正準変数の時間に依存するスケーリングをもたらす。
• この変換により、Caldirola-Kanai振動子（質量 $ m = m_0 e^{\gamma t} $）を含む、時間に依存する調和振動子の新たな正確に解けるクラスが特定される。
• 任意の $ f(x) $ に対して、この変換は定数質量を持つ自由粒子の力学を、位置に依存する質量を持つ自由粒子の力学に写像する。
• この変換は空間の計量の変更を誘導し、ヒルベルト空間の内積構造を効果的に再定義する。
• 位置に依存する質量系の結果の力学は、変換された幾何構造における自由粒子の力学と等価である。
• この手法により、既知の自由粒子系から時間に依存するハミルトニアンを体系的に生成する方法が得られる。