[論文レビュー] On a Class of Representations of Quantum Groups

A. Gerasimov, S. Kharchev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子多変数トーラス上の有理関数代数への埋め込みを用いて、量子群 $U_q(\mathfrak{g})$、ヤングリアン $Y(\mathfrak{g})$、およびゼロレベルにおけるアフィン量子群 $U_q(\hat{\mathfrak{g}})_{c=0}$ の新たな無限次元表現のクラスを構成する。この構成により、$\mathbb{R}^3$ および $\mathbb{R}^2 \times S^1$ 上のモノポールのモジュライ空間の量子化がなされ、量子可積分系とモノポールモジュライ空間の間の関係が量子逆散乱法を介して確立される。

ABSTRACT

This paper is a short account of the construction of a new class of the infinite-dimensional representations of the quantum groups. The examples include finite-dimensional quantum groups $U_q(\mathfrak{g})$, Yangian $Y(\mathfrak{g})$ and affine quantum groups at zero level $U_q(\hat{\mathfrak{g}})_{c=0}$ corresponding to an arbitrary finite-dimensional semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$. At the intermediate step we construct the embedding of the quantum groups into the algebra of the rational functions on the quantum multi-dimensional torus. The explicit parameterization of the quantum groups used in this paper turns out to be closely related to the parameterization of the moduli spaces of the monopoles. As a result the proposed constructions of the representations provide a quantization of the moduli spaces of the monopoles on $\RR^3$ and $\RR^2 imes S^1$.

研究の動機と目的

• 有限次元のゲルファンド＝ツェレビンスキー型表現を無限次元量子群へ一般化すること。
• $U_q(\mathfrak{g})$、$Y(\mathfrak{g})$、および $U_q(\hat{\mathfrak{g}})_{c=0}$ の明示的実現を、量子トーラスパラメトライゼーションを用いて構成すること。
• 量子群表現と 3次元および 2+1次元幾何におけるモノポールモジュライ空間の量子化との間の関係を確立すること。
• 量子群を、従来の構成とは異なる、量子多変数トーラス上の有理関数代数へ埋め込む新たな方法を提供すること。

提案手法

• $U_q^M(\mathfrak{g})$ を非可換変数 $\mathbf{v}_{i,p}$、$\mathbf{w}_{j,s}$、$\mathbf{u}_{i,k}$ を用いて表される明示的生成子 $K_{\beta_i}$、$E_i$、$F_i$ を通じて量子トーラス $\mathbb{T}_q$ に埋め込む。
• 有理関数および $\mathbf{v}_{i,k}^2$ の対称多項式を用いて $E_i$ と $F_i$ を定義し、分母に $\mathbf{v}_{i,k}^2 - \mathbf{v}_{i,p}^2$ の差を含める。
• 代数的整合性を保証するため、$R_i^{(+)}(z)R_i^{(-)}(z) = \prod_{s=1}^{l_i}(z\mathbf{w}_{i,s}^{-d} - \mathbf{w}_{i,s}^d)$ を満たすトゥイスト関数 $R_i^{(\pm)}(z)$ を導入する。
• 量子群の関係、特に $q$-可換関係とセレ関係を尊重する写像 $\pi: U_q^M(\mathfrak{g}) \to \mathbb{T}_q$ を通じて表現を定義する。
• 双代数構造 $U_q(\mathfrak{g}) \otimes U_{q^\vee}(\mathfrak{g}^\vee)$-両側加群を用い、ラングランス双対性と関連付ける。
• パラメトライゼーションをモノポール解の漸近的境界条件と関連付け、三角関数的 $r$-行列が $\mathbb{R}^2 \times S^1$ に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子トーラスパラメトライゼーションを用いた、量子群の無限次元表現をどのように構成できるか。
• RQ2 $U_q^M(\mathfrak{g})$ が量子多変数トーラス上の有理関数代数へどのように埋め込まれるか。
• RQ3 これらの表現が $\mathbb{R}^3$ および $\mathbb{R}^2 \times S^1$ 上のモノポールモジュライ空間とどのように関係するか。
• RQ4 $r$-行列構造が、異なる幾何におけるモノポールの漸近的境界条件を分類する上で果たす役割は何か。
• RQ5 この構成は既知の埋め込みをどのように一般化し、量子逆散乱法とどのように関係するか。

主な発見

• 本稿は、非可換変数 $\mathbf{v}_{i,p}$、$\mathbf{w}_{j,s}$、$\mathbf{u}_{i,k}$ を用いた明示的公式 $\pi(K_{\beta_i})$、$\pi(E_i)$、$\pi(F_i)$ を通じて、$U_q^M(\mathfrak{g})$ を量子トーラス $\mathbb{T}_q$ に埋め込む新しい方法を構築する。
• 表現空間には自然な $U_q(\mathfrak{g}) \otimes U_{q^\vee}(\mathfrak{g}^\vee)$-両側加群構造が備わっており、ラングランス双対性と深い関係があることが示唆される。
• この構成により、ヤンギアン表現を通じて $\mathbb{R}^3$ 上の $G$-モノポールのモジュライ空間の量子化がなされ、ゼロレベルにおけるアフィン量子群では $\mathbb{R}^2 \times S^1$ へ拡張される。
• 量子群生成子のパラメトライゼーションは、[1]、[4]、[11] で示されたように、モノポールモジュライ空間のツイスターに基づくパラメトライゼーションと密接に関係していることが示された。
• 従来の構成 [2, 24, 25] とは異なり、この埋め込みは量子逆散乱法および量子トーラス上の有理関数の構造と深く関連している。
• トゥイスト関数 $R_i^{(\pm)}(z)$ の使用により、埋め込み下でもセレ関係および $q$-可換関係が保たれ、表現の正当性が裏付けられる。