[論文レビュー] On a Class of Two-Dimensional Singular Douglas and Projectively flat Finsler Metrics

Guojun Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ドーガス的または局所的に射影的に平坦な2次元特異な$(\alpha,\beta)$-計量を特徴付け、それらが定数$c, m$を用いて$F = c\beta + \beta^m\alpha^{1-m}$の形に限られることを示している。$m = -1$のときのクロピナ計量は常にドーガス的であり、$m \neq -1$のドーガス的$m$-クロピナ計量は局所的にミンコフスキー的であることが示され、高次元の場合とは顕著な相違が浮き彫りになる。

ABSTRACT

Singular Finsler metrics, such as Kropina metrics and $m$-Kropina metrics, have a lot of applications in the real world. In this paper, we study a class of two-dimensional singular Finsler metrics defined by a Riemann metric $α$ and 1-form $β$, and we characterize those which are Douglasian or locally projectively flat by some equations. It shows that the main class induced is an $m$-Kropina metric plus a linear part on $β$. For this class, the local structure of Douglasian or (in part) projectively flat case is determined, and in particular we show that a Kropina metric is always Douglasian and a Douglas $m$-Kropina metric with $m e -1$ is locally Minkowskian. It indicates that the two-dimensional case is quite different from the higher dimensional ones.

研究の動機と目的

• 2次元特異なフィン슬計量$F = \alpha\phi(\beta/\alpha)$がドーガス的または局所的に射影的に平坦である場合を特徴付けること。
• 関数$\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$、$\varphi(0) = 1$、$m \neq 0,1$という条件下で、そのような計量の局所的構造を特定すること。
• ドーガス的および射影的に平坦な計量の分類において、2次元と高次元のケースとの相違を明確にすること。
• $m$-クロピナ計量が常にドーガス的であり、$m \neq -1$のときドーガス的$m$-クロピナ計量が局所的にミンコフスキー的であることを確立すること。

提案手法

• 本稿は、$F = \alpha\phi(s)$、$s = \beta/\alpha$を満たす$(\alpha,\beta)$-計量フレームワークを用い、$\phi(s)$が$\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$、$\varphi(0) = 1$、$m \neq 0,1$を満たすように定義することで特異なフィンスラ計量を構成する。
• 変換$\widetilde{\alpha} = b^m\alpha$、$\widetilde{\beta} = b^{m-1}\beta$を適用し、$m$-クロピナ計量の形を保ちつつ解析を簡略化する。
• 分類は、ドーガス曲率条件$\mathbf{D} = 0$と2次元における射影的平坦性条件（$K$-曲率が消える、$K_{12} = 0$）を解くことで行われる。
• スプライト方程式と$db \neq 0$の条件を用いて、射影的平坦性の必要十分条件を導出する。
• $K$-曲率テンソルと旗曲率との関係を用い、2次元では$K_{12} = 0$が射影的平坦性の必要十分条件であることを確認する。
• 具体的な$\alpha$および$\beta$の選択例を用いて、導出された条件を検証する。これには$F = c\beta + \alpha^2/\beta$および$F = c\beta + \alpha^4/\beta^3$のケースが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元特異な$(\alpha,\beta)$-計量$F = \alpha\phi(\beta/\alpha)$が$\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$を満たすとき、それがドーガス的または局所的に射影的に平坦であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 2次元におけるこのような計量の局所的構造は、高次元の場合とどのように異なるか？
• RQ3 $m$-クロピナ計量は常にドーガス的であるか？また、どのような条件下で局所的に射影的に平坦であるか？
• RQ4 変換$\widetilde{\alpha} = b^m\alpha$、$\widetilde{\beta} = b^{m-1}\beta$は、射影的に平坦な計量の分類を簡略化する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $F = c\beta + \alpha^2/\beta$または$F = c\beta + \alpha^4/\beta^3$の形の計量が局所的に射影的に平坦である可能性はあり、その条件は何か？

主な発見

• 与えられた条件下で、2次元のドーガス的または局所的に射影的に平坦な特異な$(\alpha,\beta)$-計量は、すべて定数$c$、$m$を用いて$F = c\beta + \beta^m\alpha^{1-m}$の形に限られる。
• クロピナ計量（$m = -1$）は、基になる$\alpha$および$\beta$にかかわらず、常にドーガス的である。
• ドーガス的$m$-クロピナ計量で$m \neq -1$の場合は、局所的にミンコフスキー的であることが示され、強い構造的制約が生じる。
• 計量$F = c\beta + \alpha^2/\beta$は、$c\eta''' = 0$が成り立つ場合に限り、局所的に射影的に平坦である。ここで$\eta$は$x^2$の関数である。
• 計量$F = c\beta + \alpha^4/\beta^3$はドーガス的ではあるが、$K_{12} \neq 0$のため局所的に射影的に平坦ではない。例8.4で示されている。
• 2次元では$K$-曲率が消える（$K_{12} = 0$）ことが、計量が局所的に射影的に平坦であるための必要十分条件である。これは、検証のための重要な基準を提供する。