[論文レビュー] On a Class of Type II$_1$ Factors with Betti Numbers Invariants

Sorin Popa|ArXiv.org|Sep 11, 2002

Holomorphic and Operator Theory参考文献 28被引用数 69

ひとこと要約

本稿では、弱い剛性性（KazhdanとConnes-Jonesにインspired）およびHaagerupコンパクト近似性質を満たす、単位的同型を除いて一意なCartan部分代数を有するタイプII₁因子の新クラスℋ𝒯を導入する。主な貢献は、関連する軌道同値関係を用いてℓ²-Betti数を定義し、それらが同型のもとで不変であり、Künneth型および拡大公式を満たすことを証明することであり、特にℤ²⋊SL(2,ℤ)のような群-測度空間構成について明示的な計算を行う。

ABSTRACT

We prove that a type II$_1$ factor $M$ can have at most one Cartan subalgebra $A$ satisfying a combination of rigidity and compact approximation properties. We use this result to show that within the class $\Cal H \Cal T$ of factors $M$ having such Cartan subalgebras $A \subset M$, the Betti numbers of the standard equivalence relation associated with $A \subset M$ ([G2]), are in fact isomorphism invariants for the factors $M$, $β^{^{HT}}_n(M), n\geq 0$. The class $\Cal H\Cal T$ is closed under amplifications and tensor products, with the Betti numbers satisfying $β^{^{HT}}_n(M^t)= β^{^{HT}}_n(M)/t, \forall t>0$, and a K{ü}nneth type formula. An example of a factor in the class $\Cal H\Cal T$ is given by the group von Neumann factor $M=L(\Bbb Z^2 times SL(2, \Bbb Z))$, for which $β^{^{HT}}_1(M) = β_1(SL(2, \Bbb Z)) = 1/12$. Thus, $M^t ot\simeq M, \forall t eq 1$, showing that the fundamental group of $M$ is trivial. This solves a long standing problem of R.V. Kadison. Also, our results bring some insight into a recent problem of A. Connes and answer a number of open questions on von Neumann algebras.

研究の動機と目的

• タイプII₁因子ℋ𝒯を、弱い剛性性およびHaagerupコンパクト近似性質を満たすCartan部分代数を有するクラスとして定義し、その性質を研究すること。
• ℋ𝒯因子において、このようなCartan部分代数が単位的同型を除いて一意的であることの確立。
• ℋ𝒯因子のℓ²-Betti数を、関連する軌道同値関係のℓ²-Betti数として定義すること。
• これらのBetti数が因子の不変量であり、拡大およびテンソル積の下で重要な代数的公式を満たすことを証明すること。
• ℤ²⋊SL(2,ℤ)のような群-測度空間因子や、捩れた群代数Lα(ℤ²)⋊SL(2,ℤ)の例について、明示的なBetti数を計算すること。

提案手法

• von Neumann代数の構造を分析するために、ポイント付き対応関係および完全正値写像の理論を用いる。
• 包含関係および双モジュール分解を研究するために、基本的構成およびそのコンパクト理想空間を適用する。
• 弱い剛性条件を特徴付けるために、相対的Property Hおよび剛性埋め込みの概念を用いる。
• SL(2,ℤ)のHaagerupコンパクト近似性質およびℤ²⋊SL(2,ℤ)におけるKazhdanの剛性を活用し、HT条件を検証する。
• Betti数βn^HT(M)を、HT Cartan部分代数に関連する軌道同値関係のℓ²-Betti数βn(ℛ^HT_M)として定義する。
• 同型結果および作用素代数的技法（例：基本的構成、重み、スペクトル射影）を用いて、一意性および不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプII₁因子が、弱い剛性性およびHaagerup近似性質を満たすCartan部分代数を複数持てるか？
• RQ2 ℋ𝒯因子のℓ²-Betti数は、関連する軌道同値関係のそれらとどのように関係するか？
• RQ3 これらのBetti数は、拡大およびテンソル積の下でどのように振る舞い、どのような変換則に従うか？
• RQ4 どの群-測度空間構成がクラスℋ𝒯に属するか？ また、それらのBetti数は何か？
• RQ5 捩れた群代数Lα(ℤ²)⋊SL(2,ℤ)がクラスℋ𝒯に属するための条件は何か？ また、そのBetti数は何か？

主な発見

• ℋ𝒯に属する任意のタイプII₁因子Mは、単位的同型を除いて一意なCartan部分代数Aを有し、Aは自動的にConnesの意味でのCartan部分代数である。
• MにおけるAの正規化子は、測度を保ち、軌道同値であるような、混合的で測度を保つ同値関係ℛ^HT_Mを実現する。これはMの同型を除いて不変な量である。
• 群-測度空間因子M = L∞(𝕋²,μ) ⋊ SL(2,ℤ)に対して、Betti数はβ^HT_1(M) = 1/12およびn ≠ 1のときβ^HT_n(M) = 0である。
• αが1の原始n乗根であるときの捩れた群代数Mα = Lα(ℤ²) ⋊ SL(2,ℤ)に対して、Betti数はβ^HT_1(Mα) = n/12およびk ≠ 1のときβ^HT_k(Mα) = 0である。
• Mα ≅ Mα′であるための必要十分条件はn = n′であることから、Betti数β^HT_1(Mα) = n/12はこの族の完全不変量である。
• クラスℋ𝒯は拡大およびテンソル積に関して閉じており、β^HT_n(M^t) = β^HT_n(M)/tおよびβ^HT_n(M₁ ⊗̄ M₂)に対してKünneth型の公式が成り立つ。