[論文レビュー] On a Comprehensive Class of Linear Control Problems

Rainer Picard, Sascha Trostorff+1 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Aug 15, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、境界制御および観測を伴うポート・ハミルトニアン系、マクスウェル方程式、音響波を含む包括的な線形制御問題のクラスを統一したヒルバート空間枠組みを提示する。微分代数的作用素を用いて系を再定式化し、厳密に正定値な構造を持つことで、最小限の幾何的制約（例えば、波動型系におけるピカール＝ヴィルティンガー型不等式）のもとで適切に定義された問題と保存性が確立される。

ABSTRACT

We discuss a class of linear control problems in a Hilbert space setting. This class encompasses such diverse systems as port-Hamiltonian systems, Maxwell's equations with boundary control or the acoustic equations with boundary control and boundary observation. The boundary control and observation acts on abstract boundary data spaces such that the only geometric constraint on the underlying domain stems from requiring a closed range constraint for the spatial operator part, a requirement which for the wave equation amounts to the validity of a Poincare-Wirtinger-type inequality. We also address the issue of conservativity of the control problems under consideration.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間における広範な線形制御問題のクラスを統一した関数解析的枠組みを構築すること。
• 特に境界制御設定において、非有界な制御および観測作用素を伴う系の適切に定義された問題を扱うこと。
• 基礎となる微分代数的作用素の構造的性質を通じて、このような系の保存性を特徴づけること。
• 有限次元制御系理論を抽象的境界データ空間を用いて無限次元設定へ一般化すること。
• 波動型系における適切に定義された問題を保証するための最小限の幾何的条件（空間作用素の閉包範囲やピカール＝ヴィルティンガー型不等式など）を同定すること。

提案手法

• 非有界な項を含むブロック作用素行列を用いて、ヒルバート空間における微分代数的方程式として制御問題を定式化する。
• 補助状態変数を導入することで、非有界な制御および観測作用素を有界な作用素に置き換える変換を採用する。
• 系作用素およびその随伴作用素の厳密な正定値性を活用し、関数解析的道具を用いて適切に定義された問題を保証する。
• 特定の幾何的埋め込みに依存しない抽象的境界データ空間を導入し、境界制御および観測をモデル化する。
• 進化的方程式の理論および閉包範囲条件を適用して、系の可解性および安定性を保証する。
• カurl作用素およびその随伴作用素の有界逆作用素性を活用し、電磁気および音響系をこの枠組みで取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界制御および観測を伴う包括的な線形制御問題のクラスを、一つのヒルバート空間枠組みで統一するにはどうすればよいか？
• RQ2 非有界な制御および観測作用素を伴う線形制御系の適切に定義された問題を保証する構造的条件は何か？
• RQ3 系作用素が厳密に正定値であるための幾何的または関数的制約は何か？ これにより適切に定義された問題が保証される。
• RQ4 作用素の構造および境界データの観点から、このような系の保存性をどのように特徴づけられるか？
• RQ5 ピカール＝ヴィルティンガー型不等式は、波動型系における適切に定義された問題の確保にどのように寄与するか？

主な発見

• 系作用素およびその随伴作用素の厳密な正定値性に基づき、ヒルバート空間設定のもとで制御問題の適切に定義された問題が確立される。
• 本枠組みは、ポート・ハミルトニアン系、マクスウェルの法則、境界制御および観測を伴う音響波など、多様な系を扱える。
• 系の保存性は、主作用素の反自己随伴性およびブロック行列表現におけるバランスの取れた構造によって特徴づけられる。
• 境界制御および観測は抽象的境界データ空間を用いてモデル化され、幾何的制約は空間作用素の閉包範囲条件に集約される。
• 波動方程式の場合、ピカール＝ヴィルティンガー型不等式の有効性が、閉包範囲条件と同値であることが示され、適切に定義された問題が保証される。
• 補助状態変数を導入することで、系を有界な制御および観測作用素を持つ等価な形に変換でき、標準的な適切に定義された問題理論の適用が可能になる。