[論文レビュー] On a conjecture of Atiyah

Rostislav Grigorchuk, Peter A. Linnell+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、強いアティヤ予想に対する反例を構成している。7次元の閉リーマン多様体で、基本群がGであるものを構成し、その3番目の$L^{2}$ベッチ数が$\frac{1}{3}$であることを示している。これは分母が2の冪を割り切らない非整数の有理数であり、Gの有限部分群の位数の冪にも割り切れない。この結果は、ランプライト群のマルコフ作用素のスペクトル解析から得られ、関連する作用素の核の次元が非整数の$L^{2}$ベッチ数を与えることを示しており、このような不変量が有限部分群の位数の逆数で生成される部分群に属する必要があるという予想を否定する。

ABSTRACT

In this note we explain how the computation of the spectrum of the lamplighter group from \cite{Grigorchuk-Zuk(2000)} yields a counterexample to a strong version of the Atiyah conjectures about the range of $L^2$-Betti numbers of closed manifolds.

研究の動機と目的

• 閉多様体の$L^{2}$ベッチ数が、有限部分群の位数の逆数で生成される部分群に属するという予想を否定する。
• 特に、有限部分群の位数に一様な上限がない場合に、初等的アメニタリ群に対しても強いアティヤ予想が破れるかどうかを示す。
• 有限部分群の位数に一様な上限がない場合、HNN拡大や被約積に関して強いアティヤ予想を満たす群のクラスが閉じていないことを示す。
• 有限部分群の構造に関連する有理数条件を破る非整数の$L^{2}$ベッチ数を持つ多様体の具体的な例を提供する。

提案手法

• 著者たちは、[GZ01]におけるこの群上のランダムウォークのスペクトル測度に関する結果を用いて、ランプライト群上のマルコフ作用素$A$のスペクトルを分析する。
• 作用素$A$のスペクトル測度が$[-1,1]$の稠密部分集合上で離散的であり、$q \in \mathbb{N}$に対して$\frac{1}{2^q - 1}$の値でジャンプを持つことを示す。この中には$\frac{1}{3}$も含まれる。
• $L^{2}$ベッチ数$b_{3}^{(2)}(M)$は、作用素$A$の核の次元として計算され、スペクトル解析により$\frac{1}{3}$であることが判明する。
• 群の提示から得られる、基本群が$G$である有限の3次元CW複体$X$を構成し、組合せ的$L^{2}$コチェイン複体を用いてその$L^{2}$ベッチ数を計算する。
• 複体$X$は$\mathbb{R}^8$に三角形分割され埋め込まれ、その後厚みを付けて境界が$M$である滑らかな8次元多様体に拡張され、$M$が$X$に対して4同値であることが示され、$L^{2}$ベッチ数が保存されることを保証する。
• $L^{2}$ホッジ・ド・ラーム定理を用いて、リーマン多様体$(M,g)$の解析的$L^{2}$ベッチ数が組合せ的不変量と一致することを確認し、$b_{3}^{(2)}(M,g) = \frac{1}{3}$が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数でない$L^{2}$ベッチ数を持つ閉多様体は存在するか。これはアティヤ予想の反例である。
• RQ2 有限部分群の位数に一様な上限がない初等的アメニタリ群を基本群とする場合、強いアティヤ予想が破れるか。
• RQ3 捩れのない基本群をもつ強いアティヤ予想の反例は存在するか。これは群環におけるゼロ除算予想に影響を及ぼす。
• RQ4 捩れのない群上のマルコフ作用素のスペクトル測度が、絶対連続でないか、特異成分を含むことがあるか。
• RQ5 捩れのない群のマルコフ作用素にスペクトルギャップが存在する場合、群自身またはその$L^{2}$コホモロジーに強い構造的性質が導かれるか。

主な発見

• 基本群が$G$である7次元の閉多様体の3番目の$L^{2}$ベッチ数は、正確に$\frac{1}{3}$である。これは分母が3であり、2の冪を割り切らない有理数である。
• 群$G$はランプライト群のメタアベル型HNN拡大であり、すべての有限部分群は初等アーベルな2群であるため、$\operatorname{fin}^{-1}(G) = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$（2進有理数）である。
• 値$\frac{1}{3}$は$\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$に属さないため、強いアティヤ予想が破れる。強いアティヤ予想では$b_{p}^{(2)}(M) \in \operatorname{fin}^{-1}(\pi_1(M))$を要求する。
• 群$G$上のマルコフ作用素のスペクトル測度は、$\frac{1}{2^q - 1}$の点で離散的ジャンプを持つ。核の次元$\dim_G(\ker A) = \frac{1}{3}$であり、これは直接的に$L^{2}$ベッチ数を計算する。
• 3次元複体を$\mathbb{R}^7$に埋め込み、7次元多様体に厚みを付けることで、6次元の反例に拡張され、$L^{2}$ベッチ数は依然$\frac{1}{3}$のまま維持され、低次元でも結果が確認される。
• この結果は、有限部分群の位数に一様な上限がない限り、強いアティヤ予想を満たす群のクラスがHNN拡大に関して閉じていないことを示唆する。