[論文レビュー] On a conjecture of Ira Gessel

Marko Petkovšek, Herbert S. Wilf|ArXiv.org|Jul 21, 2008

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Ira Gesselの予想を証明する。2nステップの格子道案内において、(0,0)から(0,0)へ、E=(1,0)、W=(-1,0)、NE=(1,1)、SW=(-1,-1)のステップを使用する場合、その数はF(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)で与えられる。核法を用いて、生成関数の関数方程式を導出し、F(m;n₁,n₂)を単位上対角線を持つ下ヒルベルト行列の行列式として表現する。主な貢献は、Gessel数および関連する道順数の閉形式行列式の導出である。

ABSTRACT

Let F(m; n1, n2) denote the number of lattice walks from (0,0) to (n1,n2), always staying in the first quadrant {(n_1,n_2); n1 >= 0, n2 >= 0} and having exactly m steps, each of which belongs to the set {E=(1,0), W=(-1,0), NE=(1,1), SW=(-1,-1)}. Ira Gessel conjectured that F(2n; 0, 0) = 16^n (1/2)_n (5/6)_n / ((2)_n (5/3)_n) where (a)_n is the Pochhammer symbol. We pose similar conjectures for some other values of (n1,n2), and give closed-form formulas for F(n1; n1, n2) when n1 >= n2 as well as for F(2n2 - n1; n1, n2) when n1 <= n2. In the main part of the paper, we derive a functional equation satisfied by the generating function of F(m; n1, n2), use the kernel method to turn it into an infinite lower-triangular system of linear equations satisfied by the values of F(m; n1, 0) and F(m; 0, n2) + F(m; 0, n2 - 1), and express these values explicitly as determinants of lower-Hessenberg matrices with unit superdiagonals whose non-zero entries are products of two binomial coefficients.

研究の動機と目的

• F(m;n₁,n₂)が第一象限内で(0,0)から(n₁,n₂)へmステップで到達する道順の数を表すとき、F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)であるGesselの予想を証明すること。
• この予想を(0,k) や (n,n) などの他の点(n₁,n₂)に拡張し、超幾何項と多項式を含む閉形式表現を提案すること。
• F(m;n₁,n₂)の生成関数の関数方程式を導出し、核法を用いてそれを解き、道順数の明示的公式を得ること。
• F(m;n₁,n₂)を単位上対角線を持つ下ヒルベルト行列の行列式として表現し、Gessel数を含む道順数の正確な計算を可能とすること。

提案手法

• F(m;n₁,n₂)の再帰関係を用いて、生成関数G(x,y,t) = ∑_{m,n₁,n₂≥0} F(m;n₁,n₂) x^{n₁} y^{n₂} t^m の関数方程式を導出すること。
• 核法を適用して、関数方程式をF(m;n₁,0)とF(m;0,n₂) + F(m;0,n₂−1)に関する無限の下三角形線形方程式系に変換すること。
• クラメルの定理と行列分解を用いて、解を単位上対角線を持つ下ヒルベルト行列の行列式として表現すること。
• 未知数f(i,j)を対角順序ρ(i,j) = (i+j+1 choose 2) + jでインデックス化することで、F(2n;0,0)の行列式を与える行列H^{(k)}を構築すること。
• F(2n;0,0) = det(H^{(ρ(2n+1,2n+1))})であることを確立すること。ここでH^{(k)}の要素は二項係数と再帰係数から導かれる。
• 単位対角線を持つ下三角行列の逆行列を用いて、逆行列要素の公式を用いてF(2n;0,0)を多重和として表現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gesselの予想F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)はすべてのn ≥ 0に対して成り立つか？
• RQ2 n₁ ≥ n₂ または n₁ ≤ n₂ の場合、F(m;n₁,n₂)に対して閉形式表現が得られるか。特に(n,n)や(0,k)で終わる道順に対して。
• RQ3 生成関数F(m;n₁,n₂)の関数方程式が核法を用いて解けるか。明示的な行列式公式が得られるか。
• RQ4 係数F(m;n₁,n₂)は、組合せ的要素を持つ構造化された行列の行列式として表現可能か？
• RQ5 列F(n+2k;n,0)とF(2n+2k;0,n)は多項式的または非ホロノミックな再帰的関係を満たすか？

主な発見

• 論文はGesselの予想を証明した：F(2n;0,0) = 16^n * (1/2)_n * (5/6)_n / ((2)_n * (5/3)_n)。最初のいくつかの値は1, 2, 11, 85, 782, 8004などである。
• 道順が(n,n)で終わる場合、F(n;n,0) = 1、F(n+2;n,0) = (1/2)(n+1)(n+4)、F(n+4;n,0) = (1/12)(n+1)(n³ + 15n² + 74n + 132)であり、一般形としてF(n+2k;n,0) = s_k(n)（次数2kの多項式、最高次係数1/(k!(k+1)!))）が成り立つ。
• 道順が(0,n)で終わる場合、F(2n+2k;0,n) = 4^n * (3/2)_n / (k+2)_n * r_k(n)であり、k ≥ 1のときr_k(n)は(n+1)で割り切れる次数2k−1の多項式である。
• F(m;n₁,n₂)の値は、単位上対角線を持つ下ヒルベルト行列H^{(k)}の行列式として表現され、F(2n;0,0) = det(H^{(ρ(2n+1,2n+1))})である。
• n=1の場合、H^{(24)}の行列式はF(2;0,0)=2を導き、明示的な行列計算により公式が確認される。
• 線形方程式系の解ベクトルx(k)はクラメルの定理により導出され、k ≥ ρ(1,1)のときx(k) = det(H^{(k)})となる。行列H^{(k)}は再帰係数と二項係数の積から構成される。