[論文レビュー] On a continued fraction expansion for Euler's constant

Khodabakhsh Hessami Pilehrood, Tatiana Hessami Pilehrood|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2010

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Meijer G関数および超幾何型級数を用いて導出された、多項式係数をもつ第二階非同次線形再帰を用いた、オイラーの定数 γ に対する新しい連分数展開を提示する。この構成により、非単純連分数が得られ、収束が指数的未満となる。γ に対する新たな有理数近似枠組みが提供され、明示的な有理数係数と、収束項の一般化可能なパターンを有する。

ABSTRACT

Recently, A. I. Aptekarev and his collaborators found a sequence of rational approximations to Euler's constant $γ$ defined by a third-order homogeneous linear recurrence. In this paper, we give a new interpretation of Aptekarev's approximations in terms of Meijer $G$-functions and hypergeometric-type series. This approach allows us to describe a very general construction giving linear forms in 1 and $γ$ with rational coefficients. Using this construction we find new rational approximations to $γ$ generated by a second-order inhomogeneous linear recurrence with polynomial coefficients. This leads to a continued fraction (though not a simple continued fraction) for Euler's constant. It seems to be the first non-trivial continued fraction expansion convergent to Euler's constant sub-exponentially, the elements of which can be expressed as a general pattern. It is interesting to note that the same homogeneous recurrence generates a continued fraction for the Euler-Gompertz constant found by Stieltjes in 1895.

研究の動機と目的

• オイラーの定数 γ に対する新たな有理数近似法の開発を目的とし、超幾何型級数およびMeijer G関数を用いる。
• 単純でない連分数展開を γ に対して導出することを目的とし、指数的未満収束を達成する。
• 再帰関係を用いて 1 と γ の線形形式を有理数係数で一般化することを目的とする。
• 同じ再帰関係とオイラー＝ゴンペルツ定数との関係を確立することを目的とする。
• Zeilbergerのアルゴリズムおよび直交多項式を用いて、連分数の係数の明示的公式を提供することを目的とする。

提案手法

• 著者たちは、Aptekarevの第三階再帰近似をMeijer G関数および超幾何級数の観点から解釈する。
• 有理数近似を生成する多項式係数をもつ第二階非同次線形再帰を導出する。
• 連分数は、非ゼロ分母を保証する行列式に類似した列 $ \mathfrak{d}_n = p_{n-1}q_n - p_n q_{n-1} $ を用いて構成される。
• 連分数係数の簡略化のため、$ \rho_n = \frac{n\Delta_{n-1}}{2} $ を用いた同値変換を適用する。
• 行列式関係と元の再帰から $ \Delta_n $ の再帰を導出し、閉形式パターンを導く。
• Zeilbergerの創造的テレスコーピングのアルゴリズムを用いて、関係する列の再帰関係の検証および導出を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式係数をもつ第二階非同次線形再帰は、オイラーの定数 γ に対する有理数近似を生成できるか？
• RQ2 一般化可能な係数パターンを有する、非単純連分数を γ に対して構築することは可能か？
• RQ3 Meijer G関数および超幾何級数を用いて、既存の γ に対する有理数近似を再解釈することは可能か？
• RQ4 γ に対する近似を生成する再帰と、オイラー＝ゴンペルツ定数に用いられる再帰との関係は何か？
• RQ5 行列式列 $ \mathfrak{d}_n $ を用いて、有理数係数と指数的未満収束を有する連分数を導出することは可能か？

主な発見

• オイラーの定数 γ に対する新しい連分数が構成され、収束が指数的未満である。係数は一般化可能なパターンで表現可能である。
• 連分数は非単純であり、多項式係数をもつ第二階非同次線形再帰によって生成される。
• 連分数の係数 $ a_n^* $ および $ b_n^* $ は、$ n \geq 6 $ に対して、$ a_n^* = -\frac{(n-1)^2}{4}\Delta_n\Delta_{n-2} $ および $ b_n^* = n^2\Delta_{n-1} + \frac{(n-1)(n-2)}{2}q_{n-2} $ で明示的に与えられる。
• $ \Delta_n $ は多項式係数をもつ第三階線形再帰を満たし、係数の整数性および符号パターンが確認される。
• 行列式列 $ \mathfrak{d}_n $ はすべての $ n \geq 0 $ で非ゼロであり、連分数が適切に定義され収束することを保証する。
• この構成は一般化可能であり、1 と γ の有理数係数線形形式をもたらし、γ に対する新たな有理数近似枠組みを提供する。