[論文レビュー] On a correspondence between quantum SU(2), quantum E(2) and extended quantum SU(1,1)

Kenny De Commer|VUBIR (Vrije Universiteit Brussel)|Apr 24, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、von Neumann代数的構成を用いて、量子群 SU_q(2)、Ẽ_q(2)、SŨ_q(1,1) の間の対応関係を確立する。局所コンパクトな量子群作用をタイプ I-因子に適用することで、新たな量子群が得られる。主な結果は、量子 SU(2) が量子射影平面に作用する際に、拡張された量子 SU(1,1) が得られ、それらの双対群を統合するリンクング量子群系列が、それらのモラータ同値性を明らかにすることにある。

ABSTRACT

In a previous paper, we showed how one can obtain from the action of a locally compact quantum group on a type I-factor a possibly new locally compact quantum group. In another paper, we applied this construction method to the action of quantum SU(2) on the standard Podles sphere to obtain Woronowicz' quantum E(2). In this paper, we will apply this technique to the action of quantum SU(2) on the quantum projective plane (whose associated von Neumann algebra is indeed a type I-factor). The locally compact quantum group which then comes out at the other side turns out to be the extended SU(1,1) quantum group, as constructed by Koelink and Kustermans. We also show that there exists a (non-trivial) quantum groupoid which has at its corners (the duals of) the three quantum groups mentioned above.

研究の動機と目的

• von Neumann代数的技法を用いて、量子 SU_q(2)、Ẽ_q(2)、SŨ_q(1,1) の間の対応関係を確立すること。
• 量子 SU(2) が量子射影平面に作用する際、局所コンパクトな量子群の構成法を用いて、拡張された量子 SU(1,1) 群が得られることを示すこと。
• SU_q(2)、Ẽ_q(2)、SŨ_q(1,1) の双対群に対応する3つのコーナーを持つリンクング量子群系列を構成し、それらのモラータ同値性を明らかにすること。
• SU_q(2) と SŨ_q(1,1) 間のリンクング量子群系列の代替的記述を、3×3 全体リンクシステムの構造と整合させるものであること。

提案手法

• 従来の研究で開発された、タイプ I-因子への作用に基づく局所コンパクトな量子群の構成法を用いる。
• 量子 SU(2) が量子射影平面に作用する事例にこの手法を適用し、関連する von Neumann代数がタイプ I-因子であることを確認する。
• 得られた量子群が、Koelink と Kustermans が構成した拡張量子 SU(1,1) に一致することを特定する。
• SU_q(2)、Ẽ_q(2)、SŨ_q(1,1) の双対群に対応する3つのコーナーを持つリンクング量子群系列を、合成手続きを用いて構成する。
• ヒルベルト空間上の von Neumann双代数構造を用い、特定のコアクション関係を満たす生成子 a_+、b_+ を導入する。
• q-超幾何恒等式および変換公式（例：Heineの和公式およびJacksonの変換公式）を用いて、構成における重要な恒等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子 SU(2) がタイプ I-因子に作用する場合、どのようにして新たな局所コンパクトな量子群が構成されるか？
• RQ2 量子 SU(2) が量子射影平面に作用する際に得られる量子群は何か？
• RQ3 SU_q(2)、Ẽ_q(2)、SŨ_q(1,1) の双対群を統合するリンクング量子群系列を構成できるか？
• RQ4 リンクング量子群系列は、これらの3つの量子群のモラータ同値性とどのように関係するか？
• RQ5 q-超幾何恒等式は、リンクング量子群系列の代数的構造の検証にどのように寄与するか？

主な発見

• 量子 SU(2) が量子射影平面に作用することで、拡張量子 SU(1,1) 群が得られ、双対性対応が裏付けられる。
• 得られた量子群は、Koelink と Kustermans が構成した群と同型であることが確認され、手法の妥当性が裏付けられる。
• SU_q(2)、Ẽ_q(2)、SŨ_q(1,1) の双対群に対応する3つのコーナーを持つ非自明なリンクング量子群系列が存在する。
• リンクング量子群系列の構造により、3つの量子群がモラータ同値であることが明らかになり、双対量子群の三重性が形成される。
• 構成は合成手続きと整合する：Ẽ_q(2) と SŨ_q(1,1) 間のリンクング群系列は、他の2つのリンクの合成によって得られる。
• 証明における重要な恒等式は、q-超幾何変換（特に Heine の和公式および Jackson の変換公式）に依存しており、解析接続を用いて検証されている。