[論文レビュー] On a cosine function defined for smooth normed spaces

Vitor Balestro, Emad Shonoda|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ノルムのゲートォー微分を用いて滑らかなミンコフスキー空間における幾何学的に直感的なコサイン関数 cm(x,y) を導入し、それが対称であるための必要十分条件としてユークリッド空間であることを証明している。また、Radon平面における cm の符号を用いてその特徴付けを行い、cm と正弦関数を含む微分方程式を導出し、非ユークリッドな Radon 平面では三角関数のパrameterization において2次歪みが生じることを示している。曲率が一定となるのはユークリッドの場合に限る。

ABSTRACT

We do further investigation in a certain cosine function defined for smooth Minkowski spaces. We prove that such function is symmetric if and only if the referred space is Euclidean, and also that it can be given in terms of the Gateaux derivative of the norm. As an application we use it to study the ratio between the lengths of tangent segments drawn through an external point to the unit circle of a Radon plane. We also give an easy characterization of such planes in terms of signs of the cosine function.

研究の動機と目的

• 滑らかなミンコフスキー空間における新しい幾何学的に直感的なコサイン関数 cm(x,y) の定義を提供すること。
• cm とノルムのゲートォー微分との関連を確立し、この微分の非局所的特徴付けを可能にする。
• 外部点から単位円への接線線分の長さ比を、Radon 平面において cm を用いて考察すること。
• コサイン関数の符号挙動を用いて Radon 平面を特徴付けること。
• 非ユークリッドな Radon 平面における三角関数の2次幾何的歪みを調査すること。

提案手法

• ノルムのゲートォー微分を用いてコサイン関数 cm(x,y) を定義し、トムプソンの元来の定義と同等であることを示す。
• cm をもとに半内部積を構成し、対称性およびユークリッド空間の特徴付けに関する結果を導出する。
• 双対ノルムにおける弧長パrameterization を用いて、cm と正弦関数を含む2階微分方程式 f'' + ρf = 0 を導出する。
• 関数 s ↦ cm(x₀, γ(s)) および s ↦ sn(γ(s), x₀) が、ρ(s) を曲率に類する係数とする調和振動子方程式を満たすことを証明する。
• シンプレクティック形式 [·,·] を用いた単位円の面積パrameterization を分析し、Radon 平面ではこれが双対ノルムにおける弧長と一致することを示す。
• ODE の解の一意性を用いて、ρ(s) が定数であることはノルムがユークリッドであることに同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コサイン関数 cm(x,y) が対称である条件は何か？ これは空間の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ2 コサイン関数 cm を用いて、ノルムのゲートォー微分を非局所的にどのように特徴付けられるか？
• RQ3 Radon 平面における外部点から単位円への接線線分の長さ比の幾何学的意味は何か？
• RQ4 関数 ρ(s) は非ユークリッドな Radon 平面における曲率および三角関数の2次歪みとどのように関係するか？
• RQ5 Radon 平面は、コサイン関数 cm の符号挙動のみを用いて特徴付けられるか？

主な発見

• コサイン関数 cm(x,y) が対称であることは、ミンコフスキー空間がユークリッド空間であることと必要十分条件である。これは明確な幾何的特徴付けを提供する。
• コサイン関数はノルムのゲートォー微分の形で表現可能であり、これによりこの微分の非局所的特徴付けが可能になる。
• 滑らかな Radon 平面において、関数 cm と sn は微分方程式 f'' + ρf = 0 を満たす。ここで ρ(s) は単位円上での曲率に類する関数である。
• ρ(s) が定数であることは、ノルムがユークリッドであることに同値であり、これはユークリッド空間でのみ三角関数における標準的な調和運動が得られることを示唆する。
• 面積パrameterization γ_A は Radon 平面において双対ノルムにおける弧長と一致し、ケプラーの法則の微分版が確認された。
• 本研究により、非ユークリッドな Radon 平面では三角関数に「2次歪み」が生じることが明らかになった。これはリーマン幾何学と類似した性質である。