[論文レビュー] On a Counting Theorem of Skriganov

Niclas Technau, Martin Widmer|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユニモジュラーで弱い適応性を持つ格子に対して、スクリガノフの格子点数え上げ定理を、同一直線に並ぶボックスの非均一的拡大に一般化する。双対格子の関数 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ に依存する誤差項を導入する。2次元のユニモジュラー格子では $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$ が成り立つが、高次元ではこの等式が成立しないことを示し、分母が有界であるようなディオファントス近似の漸近的数え上げに応用する。

ABSTRACT

We prove a counting theorem concerning the number of lattice points for the dual lattices of weakly admissible lattices in an inhomogeneously expanding box, which generalises a counting theorem of Skriganov. The error term is expressed in terms of a certain function $ν(Γ^\perp,\cdot)$ of the dual lattice $Γ^\perp$, and we carefully analyse the relation of this quantity with $ν(Γ,\cdot)$. In particular, we show that $ν(Γ^\perp,\cdot)=ν(Γ,\cdot)$ for any unimodular lattice of rank 2, but that for higher ranks it is in general not possible to bound one function in terms of the other. Finally, we apply our counting theorem to establish asymptotics for the number of Diophantine approximations with bounded denominator as the denominator bound gets large.

研究の動機と目的

• 同一直線に並ぶボックスの均一的拡大に対するスクリガノフの数え上げ定理を、非均一的拡大する整列ボックスへ拡張すること。
• 特に $\Gamma$ がユニモジュラーで弱い適応性を持つ場合に、双対格子の $\nu(\Gamma, \cdot)$ と $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ の関係を分析すること。
• 分母の上限が大きくなる際の、有界分母を持つディオファントス近似の数の漸近的推定を確立すること。
• 従来の結果を改善する、双対格子の $\nu$-関数に依存する明示的な誤差項を含む数え上げ式を提供すること。

提案手法

• 格子 $\Gamma$ の非ゼロベクトルで $\ell^2$ ノルムが $\rho$ 未満であるものについて、$|x_1 \cdots x_n|$ の最小値として関数 $\nu(\Gamma, \rho)$ を導入し、格子の算術的構造を捉える。
• 対角行列 $\mathcal{T}$ に対し、$T = (t_1 \cdots t_n)^{1/n} / \min\{t_1, \dots, t_n\}$ を定義し、整列ボックス $B = \mathcal{T}[0,1]^n + y$ の拡大率を制御する。
• 定理1の確立：$|\#(\Gamma \cap B) - \mathrm{vol}(B)|$ の鋭い上界を、$\nu(\Gamma^\perp, T^\star)$ と $\nu(\Gamma^\perp, 2^R T)$ を含む補助項で表し、$R$ は $\rho^n / \nu(\Gamma^\perp, \rho T)$ に依存する。
• $\Gamma$ が2次元ユニモジュラー格子であるとき、$\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$ が成り立つことを示し、特定のスパース行列を持つ $S, R \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ の存在条件を用いる。
• 高次元では、$\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ を $\nu(\Gamma, \cdot)$ の関数として一様に有界化することは一般には不可能であり、格子とその双対格子の間でこの数え上げ関数に根本的な非対称性が生じることを示す。
• 主な数え上げ結果をディオファントス近似に応用し、良い近似の数を変換されたボックス内の格子点に結びつける。$\nu$-関数を用いて誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い適応性を持つ格子に対して、スクリガノフの格子点数え上げ定理を、同一直線に並ぶボックスの均一的拡大から非均一的拡大への一般化は可能か？
• RQ2 特に高次元において、双対格子の関数 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ と $\nu(\Gamma, \cdot)$ の関係はいかなるものか？
• RQ3 $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$ が成り立つ条件は何か、またその等式が達成不可能となる状況はどのようなものか？
• RQ4 精密化された数え上げ誤差項を用いて、分母の上限が大きくなる際の有界分母を持つディオファントス近似の数の漸近的公式を導けるか？
• RQ5 誤差項の定量的依存関係は、特に $\nu$-関数を通じて、元の格子のディオファントス的性質にどのように依存するか？

主な発見

• 本稿は、非均一的拡大する整列ボックス内の格子点数について鋭い推定を確立した：$\left|\#(\Gamma \cap B) - \mathrm{vol}(B)\right| \ll \frac{1}{\nu(\Gamma^\perp, T^\star)}\left(\frac{\mathrm{vol}(B)^{1-1/n}}{\sqrt{\rho}} + \frac{R^{n-1}}{\nu(\Gamma^\perp, 2^R T)}\right)$、ここで $R = n^2 + \log(\rho^n / \nu(\Gamma^\perp, \rho T))$ である。
• 2次元ユニモジュラー格子では $\nu(\Gamma^\perp, \cdot) = \nu(\Gamma, \cdot)$ が成り立つため、従来の結果と直接比較可能であり、誤差解析が簡略化される。
• 高次元（$n \geq 3$）では、一般に $\nu(\Gamma^\perp, \cdot)$ を $\nu(\Gamma, \cdot)$ の関数として有界化することは不可能であり、この数え上げ関数の文脈において、格子とその双対格子の間で構造的な非対称性が生じることを示している。
• 主な数え上げ結果をディオファントス近似に応用し、漸近的公式 $|N_{\alpha,y}(\varepsilon,t) - \varepsilon t| \ll \frac{\log E}{\phi^2(E')}\cdot \frac{1}{\phi^2(E')}$ を得た。ここで $E$ と $E'$ はディオファントス近似関数 $\phi$ に依存する。
• $\Gamma$ が適応的（すなわち $\mathrm{Nm}(\Gamma) > 0$）であるとき、誤差項は $O(\log(\mathrm{vol}(B))^{n-1})$ に簡略化され、これはスクリガノフの元の結果を特別な場合として回復する。
• 本稿は、$\Gamma$ が弱い適応性を持つが $\Gamma^\perp$ はそうでないような格子の例を構成し、弱い適応性条件が一般には双対性に関して保存されないことを示している。