[論文レビュー] On A Covariant Hamiltonian Description of Palatini's Gravity on Manifolds with Boundary

Alberto Ibort, Amelia Spivak|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多対称幾何を用いて境界を持つ多様体上のパラティーニ重力の共変ハミルトニアン形式を提示し、還元された位相空間が境界データを符号化する特徴的なアイソトロープ部分多様体を持つシンプレクティック多様体であることを示している。この手法は、パラティーニ重力を位相的極限における制約付きゲージ理論として扱い、境界還元とゲージ対称性を通じて物理的自由度の幾何的記述を可能にする。

ABSTRACT

A covariant Hamiltonian description of Palatini's gravity on manifolds with boundary is presented. Palatini's gravity appears as a gauge theory satisfying a constraint in a certain topological limit. This approach allows the consideration of non-trivial topological situations. The multisymplectic framework for first-order covariant Hamiltonian field theories on manifolds with boundary, developed in [Ib15], enables analysis of the system at the boundary. The reduced phase space of the system is determined to be a symplectic manifold with a distinguished isotropic submanifold corresponding to the boundary data of the solutions of the Euler-Lagrange equations.

研究の動機と目的

• 時空の分割や lapse-shift 変数に依存しない、明示的な一般共変ハミルトニアン記述を構築すること。
• 微分同相変換不変性と整合的に、時空の境界を位相空間における基本的構造として組み込むこと。
• パラティーニ重力の物理的位相空間が、バルクのパラティーニ制約から導かれる制約を用いて境界データのシンプレクティック還元として得られることを示すこと。
• 特にループ量子重力に特に関連する、正準量子化と整合する幾何的枠組みを確立すること。

提案手法

• 境界を持つ多様体上の第一順位共変ハミルトニアン場の理論として、[Ib15] で開発された多対称形式を用いる。
• パラティーニ重力を、位相的極限における制約付きヤン・ミルズ型ゲージ理論としてモデル化し、位相空間にパラティーニ制約 $P = e \wedge e$ を課す。
• 境界における制約を解析し、還元位相空間を同定するために、事前シンプレクティック制約アルゴリズム（PCA）を適用する。
• 境界におけるゲージ変換群 $\mathcal{G}_{\partial M}$ を用いたマーランズ・ウエインスタイン還元により、シンプレクティック商空間を導出する。
• 境界データが還元されたシンプレクティック位相空間内のアイソトロープ部分多様体として同定されることを示す。
• モーメント写像と余接空間への持ち上げを用いて、ゲージ対称性とそれらの境界場への作用を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相変換不変性を保ちつつ、境界を持つ多様体上でのパラティーニ重力の共変ハミルトニアン形式を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 境界がパラティーニ重力の物理的位相空間に果たす役割は何か？ そしてそれは幾何学的にどのように符号化されるか？
• RQ3 境界を伴う状況下で、パラティーニ制約 $e \wedge e = 0$ が位相空間構造に与える制約は何か？
• RQ4 パラティーニ重力の還元位相空間が、境界におけるゲージ還元から生じるシンプレクティック多様体として記述可能か？
• RQ5 境界データと理論の物理的自由度の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• パラティーニ重力の還元位相空間は、ゲージ群 $\mathcal{G}_{\partial M}$ の作用によるマーランズ・ウエインスタイン還元によって得られるシンプレクティック多様体である。
• 物理的解は、Euler-Lagrange 方程式の解の境界データに対応する還元位相空間内のアイソトロープ部分多様体に符号化されている。
• 境界余接バンドル $T^{*}\mathcal{F}_{\partial M}$ は事前シンプレクティック構造を備え、制約面はコイソトロープであり、一貫した還元が可能である。
• モーメント写像 $\mathcal{J}(a,p) = -d_a^*p$ により、制約面 $\mathcal{J}^{-1}(0)$ がゲージ作用の核として特定され、シンプレクティック商の構成が可能になる。
• 系の物理的自由度は、バルクの制約 $e \wedge e = 0$ が位相空間幾何を定義する中心的役割を果たす中で、境界によって完全に決定される。
• 本形式化は lapse や shift を使用せず、$\mathbb{R} \times S$ 時空トポロジーを必要としないため、ADM よりもより一般である。