[論文レビュー] On a diffuse interface model of tumor growth

Sergio Frigeri, Maurizio Grasselli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、増殖関数を介して結合されたカーン＝ヒリャール方程式と反応拡散方程式を組み合わせた拡散界面モデルの弱解の存在、一意性、および長期的挙動を確立する。主な貢献は、ポテンシャルおよび増殖関数に対して一般な条件下で、有限エネルギー位相空間内に適切に定義された解の存在と、グローバルアトラクターの存在を示したことである。解は有限時間内に正則化されることが示された。

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model of tumor growth proposed by A.~Hawkins-Daruud et al. This model consists of the Cahn-Hilliard equation for the tumor cell fraction $φ$ nonlinearly coupled with a reaction-diffusion equation for $ψ$, which represents the nutrient-rich extracellular water volume fraction. The coupling is expressed through a suitable proliferation function $p(φ)$ multiplied by the differences of the chemical potentials for $φ$ and $ψ$. The system is equipped with no-flux boundary conditions which entails the conservation of the total mass, that is, the spatial average of $φ+ψ$. Here we prove the existence of a weak solution to the associated Cauchy problem, provided that the potential $F$ and $p$ satisfy sufficiently general conditions. Then we show that the weak solution is unique and continuously depends on the initial data, provided that $p$ satisfies slightly stronger growth restrictions. Also, we demonstrate the existence of a strong solution and that any weak solution regularizes in finite time. Finally, we prove the existence of the global attractor in a phase space characterized by an a priori bounded energy.

研究の動機と目的

• 結合されたカーン＝ヒリャール方程式と反応拡散方程式に従う拡散界面腫瘍成長モデルの弱解の存在を確立すること。
• 増殖関数の成長条件をやや強くした場合に、弱解の一意性および初期データへの連続的依存性を証明すること。
• 弱解が、粘性正則化を用いずとも有限時間内に強解へ正則化されることを示すこと。
• 事前エネルギーが有界である位相空間で定義されたグローバルアトラクターの存在を確立すること。
• 従来の研究で粘性正則化や有界な増殖関数を仮定していた枠組みを越えて、拡散界面腫瘍モデルの数学的解析を拡張すること。

提案手法

• ϕ（腫瘍細胞分率）とψ（栄養豊富な細胞外水分分率）が、それぞれカーン＝ヒリャール方程式および反応拡散方程式に従って進化する拡散界面モデルを定式化する。
• 増殖関数p(ϕ)を導入し、ϕとψの化学ポテンシャルを結合する。pは多項式的成長条件を満たすものとする。
• エネルギーの有界性を保証するため、ポテンシャルFの強制的で非線形な近似Fmを用いたフェードォ＝ガレルキン近似スキームを用いて近似解を構成する。
• エネルギー恒等式と一様グロンウォール補題を用いて事前推定を導出し、極限を取ることで弱解を得る。
• 楕円型正則性およびブートストラップ論法を用いて、弱解が有限時間内により高い正則性を獲得することを示す。
• 有限エネルギー位相空間WM上で力学系を定義し、コンパクトな吸引集合の存在を示し、閉半群に関する一般定理を用いてグローバルアトラクターの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルFおよび増殖関数pが一般の条件下にあるとき、有限エネルギーを持つ弱解が存在するための条件は何か？
• RQ2 pの成長制限をやや弱くした場合に、弱解は一意的であり、初期データに連続的に依存するか？
• RQ3 粘性正則化を用いずとも、弱解が有限時間内に強解へ正則化されるか？
• RQ4 エネルギーが有界な位相空間上で定義された力学系は、グローバルアトラクターを持つか？
• RQ5 系の長期的挙動は、コンパクト性と一様有界性によってどのように特徴づけられるか？

主な発見

• FがC²かつλ1-凸で、|F′| ≤ λ2F + λ3を満たす一般条件のもとで、初期値問題に対する弱解が存在する。
• p′がやや強い成長制限を満たす場合に、弱解の一意性および初期データへの連続的依存性が確立される。
• 任意の弱解は有限時間内に正則化され、t > 0に対してH³(Ω) × H¹(Ω)における強解へと移行する。
• 有限エネルギー位相空間WM上での解の半群{SM(t)}t≥0は適切に定義されており、グローバルアトラクターを持つ。
• グローバルアトラクターはWMでコンパクトであり、位相空間内のすべての有界集合を吸引する。また、∥ϕ∥H³(Ω)、∥ψ∥H¹(Ω)、およびエネルギー関連ノルムについて一様有界性が保証される。
• エネルギー型汎関数Φに一様グロンウォール補題を適用することで、アトラクターの存在が証明され、t ≥ 1で∥∇µ∥²、∥∇ψ∥²、および∥∆ϕ∥²が一様に有界であることが示された。