[論文レビュー] On a Dimension Formula for Twisted Spherical Conjugacy Classes in Semisimple Algebraic Groups

Jiang-Hua Lu|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特性が0の代数閉体上の連結単純代数群における$\theta$-twisted球的共軛類の次元公式を確立し、元来のuntwistedの場合を一般化する。この公式は$\dim C = l(m_C) + \operatorname{rk}(1 - m_C\theta)$の形をとり、$m_C$は$C$における$B$-軌道の稠密な部分に付随する一意なWeyl群元である。$G$が単純であり、$\theta$が外部自己同型である場合、関連するWeyl群元を分類する。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected semisimple algebraic group over an algebraically closed field of characteristic zero, and let $þ$ be an automorphism of $G$. We give a characterization of $þ$-twisted spherical conjugacy classes in $G$ by a formula for their dimensions in terms of certain elements in the Weyl group of $G$, generalizing a result of N. Cantarini, G. Carnovale, and M. Costantini when $þ$ is the identity automorphism. For $G$ simple and $þ$ an outer automorphism of $G$, we also classify the Weyl group elements that appear in the dimension formula.

研究の動機と目的

• untwisted（$\theta = \mathrm{Id}$）の場合の球的共軛類の次元公式を$\theta$-twisted共軛類へ一般化すること。
• $\theta$-twisted球的共軛類をWeyl群元$m_C$および自己同型$\theta$の観点から特徴付けること。
• $G$が単純であり、$\theta$が外部自己同型である場合に、$\theta$-twisted共軛類から生じるWeyl群元$m_C$の集合$\widetilde{\mathcal{M}}_\theta$を分類すること。
• 外部$\theta$に対して$\widetilde{\mathcal{M}}_\theta = \mathcal{M}_\theta$が成り立つことを示すこと。ここで$\mathcal{M}_\theta$は$W$における$\theta$-twisted共軛類の最大長さの元の集合である。

提案手法

• 本稿は、$\theta$-twisted共軛類を$g_1 \cdot_\theta g = g_1 g \theta(g_1)^{-1}$という$\theta$-twisted共軛作用により定義し、$B$-球的共軛類は$B$-軌道が稠密であるという性質で定義される。
• $m_C \in W$を、$C \cap (B m_C B)$が$C$において稠密であるような一意なWeyl群元として導入し、$C$の幾何学的性質と$W$における組合せ論的構造を結びつける。
• 直接計算と表現論的議論により、$\dim C = l(m_C) + \operatorname{rk}(1 - m_C\theta)$という主要な公式を導出し、$\theta = \mathrm{Id}$の場合の先行結果を一般化する。
• 外部自己同型$\theta$に対して、$\theta$がダイニン図に作用する様子と$W$における$\theta$-twisted共軛類の構造を用いて$\mathcal{M}_\theta$を分類し、[3]および[9]の結果に依拠する。
• 正根の$\theta$-軌道や、長さ最大の元$w_0$の反射積への分解といったルート系のデータを用いて、安定化部分群と軌道次元を分析する。
• 非球的の場合における$m_C = w_0$の証明には、1パラメータ部分群と$\theta$-可換性を用いた$B w_0 B \cap B_- \cap C_h$内での元の明示的構成が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純代数群における$\theta$-twisted共軛類が球的であるのはいつか、そしてその条件を代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ2 Weyl群元と自己同型$\theta$を用いて、$\theta$-twisted球的共軛類の正確な次元公式は何か？
• RQ3 $G$が単純であり、$\theta$が外部自己同型である場合、$\theta$-twisted共軛類における稠密な$B$-軌道のインデックスをなすWeyl群元$m_C$はどのようなものか？
• RQ4 このような$m_C$の集合$\widetilde{\mathcal{M}}_\theta$は、$\theta$-twisted $W$-共軛類における最大長さの元の集合$\mathcal{M}_\theta$と一致するか？
• RQ5 $\theta$-twisted共軛類の次元は、$m_C$の取り得る値にどのような制約を与えるか？

主な発見

• $\theta$-twisted共軛類$C$が球的であるための必要十分条件は、$\dim C = l(m_C) + \operatorname{rk}(1 - m_C\theta)$を満たすことである。ここで$m_C$は$C$における稠密な$B$-軌道をインデックスづけるWeyl群元である。
• $G = D_4$かつ$\theta$が位数3の外部自己同型である場合、集合$\mathcal{M}_\theta$には正確に2つの元が含まれ、この場合の完全な分類が得られる。
• $\theta$がダイニン図に位数2の自己同型を誘導する場合、集合$\mathcal{M}_\theta$は[9, 表2]に与えられたリストと一致する。
• $G = D_4$で$\theta$が位数3である場合、$h \in H$を通る$\theta$-twisted共軛類$C_h$の次元は、$h^{\alpha_2} = h^{\alpha_1}h^{\alpha_3}h^{\alpha_4} = 1$のとき14であり、それ以外の場合は20以上である。
• $h^{\alpha_2} = h^{\alpha_1}h^{\alpha_3}h^{\alpha_4} = 1$のとき、Weyl群元は$m_{C_h} = w_0 s_2$であり、この共軛類は球的である。
• $h^{\alpha_2} \neq 1$または$h^{\alpha_1}h^{\alpha_3}h^{\alpha_4} \neq 1$のとき、Weyl群元は$m_{C_h} = w_0$であり、次元が$\geq 20$であるため、この共軛類は球的でない。