[論文レビュー] On a family of analytic discs attached to a real submanifold $M\subset\mathbb{C}^{N+1}$

Valentin Burcea|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、平坦な楕円型CR特異点をもつcodimension 2の実部分多様体 $M \subset \mathbb{C}^{N+1}$ に接する、互いに素な解析的円板の族を構成する。摂動および全純座標変換を用いて、これらの円板が境界 $M$ をもつ滑らかでLevi平坦な超曲面 $\widetilde{M}$ をなすことを示し、$M$ が実解析的であれば $\widetilde{M}$ も $M$ を境に実解析的であることを示す。これは、このような超曲面の正則性に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We construct a family of analytic discs attached to a real submanifold M \subset $\mathbb{C}^{N+1}$ of codimension $2$ defined near a CR singularity.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}^2$ におけるKenig-Websterの解析的円板に関する結果を、$N+1 \geq 3$ の次元、codimension 2のCR特異点をもつ部分多様体へ拡張すること。
• Dolbeault-Tomassini-Zaitsevが提起したグラフケースにおけるホロモルフィー的包の正則性に関する未解決問題を解消すること。
• 自然な仮定（任意の点で最小でないCR点、次元 $n-2$ の複素部分多様体が存在しない）の下で、構成された超曲面 $\widetilde{M}$ が滑らかでLevi平坦であることを証明すること。
• M が実解析的であれば、Huang-Yinの解析接続の技法を用いて $\widetilde{M}$ が $M$ を境に実解析的であることを確立すること。

提案手法

• パrameter化された曲線に定義された関数のコーシー積分拡張を用いて、モデル領域 $\widetilde{M}_0$ から $\mathbb{C}^{N+1}$ への全純写像 $T$ の連続的族を構成する。
• $\mathcal{F}_{X,r}$ と $\mathcal{B}_{X,r}$ をそれぞれコーシー積分による全純拡張および境界拡張として定義し、$z$, $X$, $r$ に関して正則性を保証する。
• $\mathcal{F}$ および $\mathcal{B}$ の微分に関する $L^\infty$ および Hölder 範囲の推定を確立し、$j+2s \leq l-4$, $l \geq 7$ の下で $\partial_{\theta}^j \partial_X^{|I|} \partial_r^s \mathcal{F} = \mathrm{O}(r^{l-s-2})$ および $\partial_z^j \partial_X^{|I|} \partial_r^s \mathcal{B} = \mathrm{O}(r^{l-s})$ が成り立つことを示す。
• ヤコビアン $DT$ が単位行列であることを証明し、$T$ が正則埋め込みであることを示し、$\widetilde{M} = T(\widetilde{M}_0)$ が $\mathcal{C}^{(l-7)/3}$-滑らかな超曲面であることを示す。
• Kenig-WebsterおよびHuangの滑らかな拡張技法を用いて、拡張された反射原理により $M_0 \setminus \{0\}$ を超えて $T$ を拡張し、$M \cup \widetilde{M}$ が境界付き滑らかな多様体であることを保証する。
• Huang-Yinの解析的技法を活用し、$M$ が実解析的であれば $\widetilde{M}$ が $M$ を境に実解析的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な楕円型CR特異点をもつcodimension 2の実部分多様体に接する、$\mathbb{C}^{N+1}$ 内の解析的円板の族を、Kenig-Websterの $\mathbb{C}^2$ 結果に類似して構成できるか？
• RQ2 これらの円板によって形成される超曲面 $\widetilde{M}$ がLevi平坦になる条件は何か？
• RQ3 $M$ が実解析的であれば、境界 $M$ を境に超曲面 $\widetilde{M}$ は滑らかで実解析的か？
• RQ4 定理1.2のグラフケースにおける解 $f$ の正則性は、複素点 $q_1, q_2$ で改善可能か？
• RQ5 どこでも最小でない点、次元 $n-2$ の複素部分多様体が存在しないという仮定の下で、円板構成から境界 $M$ をもつ滑らかでLevi平坦な超曲面が存在するか？

主な発見

• 互いに素な解析的円板の族が構成され、$\mathbb{C}^{N+1}$ 内の平坦な楕円型CR特異点近くで境界 $M$ をもつ滑らかな超曲面 $\widetilde{M}$ をなす。これはKenig-Websterの $\mathbb{C}^2$ 結果の一般化である。
• 定理1.3の仮定（どこでも最小でないCR点、次元 $n-2$ の複素部分多様体が存在しない、平坦な楕円型特異点）の下で、$\widetilde{M}$ は滑らかなLevi平坦超曲面である。
• $M$ が実解析的であれば、Huang-Yinの解析接続の議論を適応することで、$\widetilde{M}$ が $M$ を境に実解析的であることが示された。
• 構成法により、$l \geq 7$ の下で $r$, $X$, $z$ に関して一様な微分係数推定をもつ $\mathcal{C}^{(l-7)/3}$-滑らかな埋め込みが得られる。
• グラフケースにおけるホロモルフィー的包の正則性に関する未解決問題が解消され、定理1.2における解 $f$ が複素点 $q_1, q_2$ で滑らかであることが示された。
• 提示された仮定の下で、定理1.1および定理1.2の超曲面は一致し、既知のグラフケースと一致する円板の葉構造の整合性が確認された。