[論文レビュー] On a family of exact solutions to the incompressible liquid crystals in two dimensions

Hongjie Dong, Zhen Lei|arXiv (Cornell University)|May 16, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、回転対称な初期速度場および配向場を用いて、有限エネルギーを有する2次元非圧縮性液晶方程式に対して、時間全域にわたる正確な強解の族を構築する。この解は、系を非線形熱方程式に還元した後、ホフプ・コール型変換を用いて明示的に解かれ、時間の経過に従い配向曲線が球面上の一点に収縮することがある。

ABSTRACT

In this paper we construct a family of exact strong solutions to the two-dimensional incompressible liquid crystal equations with finite energy. The initial velocity is chosen to be rotationally symmetric and the image of the initial orientation of the liquid crystal is a non-trivial curve on the unit sphere. It turns out that this family of initial data evolves globally in time by liquid crystal flow and may shrink to a single point as time goes to infinity.

研究の動機と目的

• 大規模な初期データを有する2次元非圧縮性液晶方程式に対して、グローバルな強解の存在を確立すること。
• 単位球面上に非自明な初期配向を有する回転対称性下での明示的正確解の構築。
• 配向写像の長期的挙動、特にそれが一点に収縮するか否かの分析。
• 従来の小データ解や半球面仮定の範囲外に位置する、大規模な初期エネルギーに対しても解が滑らかで一意的であることを示すこと。

提案手法

• 単位ベクトル場 d を球座標 ψ(r) と φ(r) でパラメータ表示し、ψ と φ に関する方程式に系を簡約する。
• 径対称性とエリクセン＝レジスモデルの構造を活用して、関数 F(ψ) に対する非線形熱方程式に系を変換する。
• 非線形熱方程式を明示的に解くためにホフプ・コール型変換を適用する。
• 速度場の径対称性を用いて運動量方程式を R⁴ 上の熱方程式に還元し、熱核との畳み込みを用いて明示的解を得る。
• 圧力 p を応力テンソルおよび速度場の径方向成分から構成する。
• 解がすべての t > 0 で滑らかであり、非圧縮性および単位長さ制約を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な初期エネルギーおよび球面上に非自明な配向を有する2次元非圧縮性液晶方程式に対して、グローバルな正確解を構築可能か？
• RQ2 特定の初期条件のもとで、S² 上の配向場の像が t → ∞ 時に一点に収縮するか？
• RQ3 系の非線形性および結合性にもかかわらず、解を明示的に求められるか？
• RQ4 初期データが BMO⁻¹ に属さず、半球面に含まれない場合でも、解がすべての t > 0 で一意的かつ滑らかか？
• RQ5 液晶フローに沿って、配向曲線の弧長はどのように変化するか？

主な発見

• 本稿は、有限エネルギーを有する2次元非圧縮性液晶方程式に対して、滑らかで時間全域にわたる正確な強解の族を構築する。
• 初期速度は回転対称であり、初期配向は任意の開半球面に含まれない非自明な曲線を描く。
• u₀ および ∇d₀ の L² ノルムが大きくても、解はすべての t > 0 でグローバルに定義され、滑らかである。
• 初期プロファイルの漸近的挙動に応じて、d の像曲線が t → ∞ 時に S² 上の一点に収縮することがある。
• 配向曲線の弧長はフローに沿って非増加的であるが、常に減少するとは限らず、零から離れたまま保たれる例も存在する。
• 弱解から強解の一意性により解は一意的であり、小データ仮定や半球面制約に依存しない。