[論文レビュー] On a family of homogeneous dispersive equations admitting integrable members

Priscila Leal da Silva, Igor Leite Freire+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、2つの任意パラメータを有する一様非線形分散方程式の族を研究し、可積分性を保証する保存則を確立する。Lax対およびKdV方程式へと結びつくミウラ型変換を用いて、完全可積分なメンバーを同定し、既知のKdV方程式の解からキック型およびピークオン型解を構成可能とする。

ABSTRACT

We consider a family of homogeneous nonlinear dispersive equations with two arbitrary parameters. Conservation laws are established from the point symmetries and imply that the whole family admits square integrable solutions. Recursion operators are found to two members of the family investigated. For one of them, a Lax pair is also obtained, proving its complete integrability. From the Lax pair we construct a Miura-type transformation relating the original equation to the KdV equation. This transformation, on the other hand, enables us to obtain solutions of the equation from the kernel of a Schrodinger operator with potential parametrized by the solutions of the KdV equation. In particular, this allows us to exhibit a kink solution to the completely integrable equation from the 1-soliton solution of the KdV equation. Finally, peakon-type solutions are also found for a certain choice of the parameters, although for this particular case the equation is reduced to a homogeneous second order nonlinear evolution equation.

研究の動機と目的

• 2つの任意パラメータを有する一様非線形分散方程式の族を調査し、その可積分なメンバーが存在する条件を同定すること。
• 点変換の対称性から保存則を確立し、全族にわたって二乗可積分解が存在することを保証すること。
• 再帰作用素およびLax対の構成を通じて、完全可積分性に至る特定のパラメータ選択を同定すること。
• KdV方程式へと結びつくミウラ型変換を導出し、KdV方程式の解から新しい方程式の解への移行を可能とすること。
• 特定のパラメータ選択下での特別解（キック型およびピークオン型解）の存在と構造を調査すること。

提案手法

• 方程式の点変換対称性を用いて保存則を導出し、全族にわたって二乗可積分解が存在することを証明する。
• 族の2つのメンバーに対して再帰作用素を構成し、その可積分性構造を調査する。
• 完全可積分な1つのメンバーに対してLax対を導出し、ゼロ曲率条件を用いてその完全可積分性を確認する。
• KdV方程式の解を新しい方程式の解へ写像するミウラ型変換を確立し、Lax対構造を活用する。
• ミウラ変換を用いて、KdV方程式の1ソリトン解から新しい解（キック解を含む）を生成する。
• 特定のパラメータ選択下で方程式を2階非線形発展方程式に簡略化し、ピークオン型解を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの任意パラメータにどのような条件が課されると、分散方程式の族が可積分なメンバーを有するか？
• RQ2 点変換対称性は、全族にわたって二乗可積分解が存在することを保証する保存則をどのように導くか？
• RQ3 族の任意のメンバーに対してLax対を構成可能か？ これはその完全可積分性にどのような意味を持つか？
• RQ4 新しい方程式とKdV方程式を結ぶミウラ型変換の性質は何か？ そして、解の生成をどのように促進するか？
• RQ5 特定のパラメータ値に対してピークオン型解は存在するか？ また、それらは簡略化された2次方程式からどのように導出されるか？

主な発見

• 点変換対称性から導かれた保存則のおかげで、全族にわたって二乗可積分解が存在することが保証される。
• 1つのメンバーがLax対の存在により完全可積分であることが確認された。
• KdV方程式の解と新しい方程式の解を結ぶミウラ型変換が構成された。
• キック解は、KdV方程式の1ソリトン解をミウラ変換により明示的に得た。
• 特定のパラメータ選択下で、方程式は一様な2階非線形発展方程式に簡略化され、ピークオン型解を許容する。
• ピークオン型解は、簡略化された方程式の構造から生じ、特定のパラメータ設定下での明確な解クラスを示している。