[論文レビュー] On a formula for the spectral flow and its applications

Pierluigi Benevieri, Paolo Piccione|ArXiv.org|Jan 26, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート空間上の連続的な対称フレドホルム双線形形式の族のスペクトルフローを、有限余次元の閉部分空間への制限を用いて、グラスマン多様体における相対次元を用いて計算するための公式を確立する。主な結果は、このような還元においてスペクトルフローが保存されることを示しており、制約付きまたは幾何的状況（周期的半リーマン的測地線など）における計算を可能にする。ここで、それがマスロフ指数に等しいことが示されている。

ABSTRACT

We consider a continuous path of bounded symmetric Fredholm bilinear forms with arbitrary endpoints on a real Hilbert space, and we prove a formula that gives the spectral flow of the path in terms of the spectral flow of the restriction to a finite codimensional closed subspace. We also discuss the case of restrictions to a continuous path of finite codimensional closed subspaces. As an application of the formula, we introduce the notion of spectral flow for a periodic semi-Riemannian geodesic, and we compute its value in terms of the Maslov index.

研究の動機と目的

• 有限余次元の閉部分空間への制限を受ける対称フレドホルム双線形形式の族のスペクトルフローを計算するための公式を導出すること。
• 部分空間の族が時間とともに連続的に変化する場合の公式を拡張すること。
• 還元公式を用いて、周期的半リーマン的測地線のスペクトルフローを定義および計算すること。
• このような測地線のスペクトルフローとマスロフ指数との間の関係を確立すること。
• 有限次元還元を用いた、強不定な変分問題におけるスペクトルフローの一般的計算手法を提供すること。

提案手法

• 閉部分空間のグラスマン多様体における負のスペクトル部分空間の相対次元によるスペクトルフローの特徴づけを用いる。
• フレドホルム対および共通部分空間の理論を用いて、有限余次元還元を扱う。
• 変化する部分空間のケースを固定部分空間のケースに還元するために、自明化技術を用いる。
• 対称性にコンパクト作用素を加えたものが、有限余次元制限のもとで保存されることに依拠する。
• 一般線形群の共転作用に関してスペクトルフローが不変であることに基づき、形式が「対称性＋コンパクト作用素」である族に還元すること。
• 写像 $\mathfrak{I} \mapsto \mathrm{Ker}(\mathfrak{I} - I)$ を用いて、対称性と部分空間との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限余次元部分空間への制限を用いて、対称フレドホルム双線形形式の族のスペクトルフローをどのように計算できるか。
• RQ2 族のスペクトルフローと、その連続的な有限余次元部分空間族への制限のスペクトルフローとの間にはどのような関係があるか。
• RQ3 周期的半リーマン的測地線のスペクトルフローは、有限次元還元を用いて定義および計算可能か。
• RQ4 周期的測地線のスペクトルフローはマスロフ指数とどのように関係するか。
• RQ5 スペクトルフローは有限余次元還元に関して不変であるか。もしそうならば、どのような条件下で成立するか。

主な発見

• 連続的な対称フレドホルム双線形形式の族のスペクトルフローは、その有限余次元の閉部分空間への制限がフレドホルムのまま保たれる限り、制限後のスペクトルフローに等しい。
• 負固有空間の相対次元は、有限余次元制限のもとで保存され、これにより相対次元がスペクトルフローの不変量として利用可能になる。
• 有限余次元部分空間の連続族に対しては、適切な自明化を用いることで、制限のスペクトルフローを固定部分空間のケースに還元できる。
• 自由ループ空間上のエネルギー汎関数のヘッシアンを用いて定義される周期的半リーマン的測地線のスペクトルフローは、その測地線のマスロフ指数に等しい。
• この公式は $C^k$ 路（$k = 0, \dots, \infty, \omega$）に対して成り立ち、一般線形群の共転作用に関して不変である。
• この結果により、変分問題における一般の境界条件を、有限次元射影を用いてより単純なディリクレ型の境界条件に還元できる。