[論文レビュー] On a fully fuzzy framework for minimax mixed integer linear programming

Manuel Arana‐Jiménez, Víctor Blanco|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Facility Location and Emergency Management被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、曖昧数の最小上界という概念を導入することで、完全に曖昧なミニマックス混合整数線形計画問題に対する完全な曖昧枠組みを提案する。これにより、完全に曖昧なミニマックス問題を等価な三目的混合整数計画問題に再定式化できる。この手法は、古典的なミニマックス最適化を曖昧な環境に拡張したものであり、容量制約付きセンター施設立地問題への応用を通じて、曖昧解が構造的・コスト配分的観点でクリップス解と顕著に異なることが示された。

ABSTRACT

In this work, we present a modeling framework for minimax mixed 0-1 fuzzy linear problems. It is based on extending the usual rewriting of crisp minimax problems via auxiliary variables to model the maximum of a finite set of fuzzy linear functions. We establish that the considered problem can be equivalently formulated as a multiple objective mixed integer programming problem. The framework is applied to a fully fuzzy version of the capacitated center facility location problem.

研究の動機と目的

• すべてのパラメータと変数が曖昧数である完全な曖昧不確実性下でのミニマックス混合整数線形計画問題を解く包括的な枠組みを構築すること。
• 通常クリップス問題に適用される古典的なミニマックス最適化を、曖昧数の算術演算と曖昧集合の構造的性質を用いて完全な曖昧設定に拡張すること。
• 完全に曖昧なミニマックス問題を等価な三目的混合整数計画問題に定式化することにより、既存の多目的最適化手法の利用を可能にすること。
• この枠組みを、需要、容量、コストパラメータが曖昧である実世界の問題である容量制約付きセンター施設立地問題に適用すること。
• 曖昧解が、上界が同一であっても、施設構成とコスト配分の観点でクリップス解と顕著に異なることがあることを示すこと。

提案手法

• 有限個の曖昧数に対して最小上界を導入し、これはクリップスのミニマックス問題における最大値の曖昧数版として機能する。
• 曖昧パラメータと変数を三角曖昧数で表現し、非負性を仮定し、乗算と比較には標準的な曖昧算術を適用する。
• 曖昧目的関数の最小上界を表す補助的な曖昧変数を導入することで、完全に曖昧なミニマックス問題を再定式化する。
• 元の完全に曖昧なミニマックス問題と、曖昧目的関数の下限、中央値、上限を含む三目的混合整数計画問題との等価性を確立する。
• Gurobiなどの階層的最適化手法を用いて、三角曖昧目的関数の三つの成分を逐次最適化することで曖昧解を生成する。
• 枠組みを容量制約付きセンター施設立地問題に適用し、需要、容量、設置コスト、輸送コストを三角曖昧数としてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのパラメータと変数が曖昧数である完全な曖昧環境に、古典的なミニマックス戦略（関数集合の最大値を最小化する戦略）をどのように拡張できるか？
• RQ2 ミニマックス問題における最大演算子の適切な曖昧アナログは何か？また、その構造的性質は何か？
• RQ3 完全に曖昧なミニマックス混合整数線形計画問題を多目的混合整数計画問題に再定式化できるか？もしそうなら、その方法は何か？
• RQ4 完全に曖昧なミニマックス問題の解は、クリップス解と比べて施設構成とコスト配分の観点でどのように異なるか？
• RQ5 曖昧不確実性は、容量制約付きセンター施設立地問題のような立地問題における最適解構造にどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• 提案された枠組みにより、完全に曖昧なミニマックス混合整数線形計画問題が、曖昧目的関数の下限、中央値、上限に対応する三目的混合整数計画問題に等価に再定式化可能であることが示された。
• 曖昧数の集合に対する最小上界は、曖昧ミニマックス問題における最大演算子の適切な一般化であることが示され、再定式化を支える明確な構造的性質を有する。
• 容量制約付きセンター施設立地問題において、上界が同一であっても、曖昧解はクリップス解とは異なる施設構成と需要割り当てを示す。
• 図5の解(a)と解(b)は、同一の曖昧目的値 ˜θ∗ = (1399.70, 2629.27, 3463.01) を共有しており、ミニマックス目的関数が上界にのみ依存することを確認している。上界は他のコストに制約を課す役割を果たす。
• 曖昧解はクリップス割り当てではない。代わりに、各施設が供給する需要量は三角曖昧数として表現され、システム内の不確実性を反映している。
• この枠組みは元の問題のNP困難性を保ちつつ、特定の符号化条件下で整数変数の数が固定されている場合には多項式時間で解ける。