[論文レビュー] On a Generalization for Quaternion Sequences

Serpil Halıcı|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フィボナッチ、ラテン、ペル、ヤコブスタールなどの既知の数列を統一・拡張する一般化されたクaternion数列であるホラダムクォータニオンを導入する。パラメータを用いた2階線形再帰を定義することで、閉形式のビネット公式、母関数、カッシーニの恒等式、和公式、ノルム表現を導出し、すべての先行するクォータニオン数列がこの一般枠組みの特別な場合であることを示している。

ABSTRACT

In this study, we introduce a new classes of quaternion numbers. We show that this new classes quaternion numbers include all of quaternion numbers such as Fibonacci, Lucas, Pell, Jacobsthal, Pell-Lucas, Jacobsthal-Lucas quaternions have been studied by many authors. Moreover, for this newly defined quaternion numbers we give the generating function, norm value, Cassini identity, summation formula and their some properties.

研究の動機と目的

• 既存のクォータニオン数列（フィボナッチ、ラテン、ペル、ヤコブスタールクォータニオンなど）を1つの統一的枠組みに一般化すること。
• 任意の初期値とパラメータを用いたホラダム再帰関係に基づく、新しいクォータニオン数列クラス「ホラダムクォータニオン」を定義すること。
• これらの一般化クォータニオンに対して、ビネット公式、母関数、カッシーニの恒等式、和公式、ノルム表現といった基本的性質を導出すること。
• すべての既に研究されたクォータニオン数列が、この一般化ホラダムクォータニオン枠組みの特別な場合であることを示すこと。

提案手法

• 初期値 $ W_0 = a $, $ W_1 = b $ を持つホラダム再帰 $ W_n = pW_{n-1} + qW_{n-2} $ に従う $ W_n $ を用いて、$ Q_{w,n} = W_n + iW_{n+1} + jW_{n+2} + kW_{n+3} $ という再帰関係によりホラダムクォータニオンを定義する。
• 特性方程式 $ x^2 - px - q = 0 $ の根 $ \alpha $, $ \beta $ を含む一般化フィボナッチ型関数 $ T_n $ を用いて、$ W_n $ のビネット公式を $ W_n = bT_n + aqT_{n-1} $ として導出する。
• 基礎となるホラダム数列の母関数を用いて、ホラダムクォータニオンの母関数を確立する。
• 再帰およびビネット公式の代数的変形を用いて、ホラダムクォータニオンのカッシーニ恒等式を証明する。
• ノルム表現 $ Nr^2(Q_{w,n}) = \frac{1}{p^2 + 4q}(b^2A + 2abqB + a^2q^2C) $ を導出し、ここで $ A, B, C $ は $ \alpha^n, \beta^n $ および $ (-q)^n $ を用いた明示的表現である。
• パラメータ $ a, b, p, q $ に特定の値を代入することで、既知のクォータニオン数列（例：フィボナッチ、ペル、ヤコブスタール）が一般式の特別な場合として得られることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィボナッチ、ラテン、ペル、ヤコブスタールクォータニオンなどの既知の数列を統一する1つの一般化クォータニオン数列を定義できるか？
• RQ2 この一般化クォータニオン数列の閉形式表現（ビネット公式、母関数）は何か？
• RQ3 カッシーニの恒等式や和公式といった基本的恒等式は、この枠組み内でどのように一般化されるか？
• RQ4 一般化ホラダムクォータニオンのノルム表現は何か？ また、既知のケースにどのように簡約されるか？
• RQ5 一般化枠組みは、これまでに研究されたすべてのクォータニオン数列を特別な場合として回復できるか？

主な発見

• ホラダムクォータニオン枠組みは、パラメータ $ a, b, p, q $ を変化させることで、フィボナッチ、ラテン、ペル、ペル＝ラテン、ヤコブスタール、ヤコブスタール＝ラテンクォータニオンを含む、すべての既知のクォータニオン数列を特別な場合として一般化する。
• ホラダムクォータニオンのビネット公式は $ Q_{w,n} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( A\underline{\alpha}\alpha^{n+1} - B\underline{\beta}\beta^{n+1} \right) $ として導出され、ここで $ \underline{\alpha}, \underline{\beta} $ は特性根の共役である。
• ホラダムクォータニオンの母関数は $ G(x) = \frac{W_0 + (W_1 - pW_0)x}{1 - px - qx^2} $ として表現され、基礎となるホラダム数列の母関数を拡張する。
• ホラダムクォータニオンのカッシーニ恒等式は $ Q_{w,n}Q_{w,n-1} = Q_{w,n-1}Q_{w,n} + \text{ノルムおよび再帰項を含むある式} $ として確立され、古典的恒等式を一般化する。
• ホラダムクォータニオンのノルムは $ Nr^2(Q_{w,n}) = \frac{1}{p^2 + 4q}(b^2A + 2abqB + a^2q^2C) $ で与えられ、$ A, B, C $ は $ \alpha^n, \beta^n $ および $ (-q)^n $ を用いて明示的に定義され、特殊化すると既知のノルム公式に簡約される。
• 和公式 $ \sum_{k=0}^{n} Q_{w,k} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( \frac{B\underline{\beta}\beta^{n+1}}{1 - \beta} - \frac{A\underline{\alpha}\alpha^{n+1}}{1 - \alpha} \right) + K $ は、フィボナッチ、ペル、ヤコブスタールクォータニオンの既知の和恒等式を一般化する。