[論文レビュー] On a generalization of close-to-convex functions

Swadesh Kumar Sahoo, Navneet Lal Sharma|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$q$-差分作用素を用いた古典的近接凸関数の$q$-アナログとして、$q$-近接凸関数を導入し、その性質を研究する。このクラスに属する関数の係数の上限を確立し、Bieberbach-de Branges定理の$q$-アナログを証明するとともに、特定のディログラミス型関数および基本超幾何級数が$q$-近接凸族に属することを同定する。これにより、古典的単値関数論が$q$-微積分の文脈へ拡張される。

ABSTRACT

A motivation comes from {\em M. Ismail and et al.: A generalization of starlike functions, Complex Variables Theory Appl., 14 (1990), 77--84} to study a generalization of close-to-convex functions by means of a $q$-analog of a difference operator acting on analytic functions in the unit disk $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:\,|z|<1\}$. We use the terminology {\em $q$-close-to-convex functions} for the $q$-analog of close-to-convex functions. The $q$-theory has wide applications in special functions and quantum physics which makes the study interesting and pertinent in this field. In this paper, we obtain some interesting results concerning conditions on the coefficients of power series of functions analytic in the unit disk which ensure that they generate functions in the $q$-close-to-convex family. As a result we find certain dilogarithm functions that are contained in this family. Secondly, we also study the famous Bieberbach conjecture problem on coefficients of analytic $q$-close-to-convex functions. This produces several power series of analytic functions convergent to basic hypergeometric functions.

研究の動機と目的

• 古典的近接凸関数の概念を$q$-差分作用素を用いて一般化し、$q$-近接凸関数のクラスを導入すること。
• 単位円板内での正則関数が$q$-近接凸族に属するための十分な係数条件を導出すること。
• $q$-近接凸関数に対する古典的Bieberbach予想問題の$q$-アナログを調査すること。
• ディログラミス関数や基本超幾何級数を含む特定の特殊関数が、$q$-近接凸クラスに属することを同定すること。
• $q$-星型関数および$q$-近接凸関数に対して、Bieberbach-de Branges定理の$q$-アナログを確立し、関連するべき級数の収束結果を得ること。

提案手法

• $q$-差分作用素 $D_q f(z) = \frac{f(z) - f(qz)}{z(1 - q)}$ を用いて、$q$-星型関数および$q$-近接凸関数を定義し、古典的単値関数クラスを一般化する。
• $\mathcal{K}_q$ と表される$q$-近接凸関数のクラスは、ある $g \in \mathcal{S}^*$ に対して $\left| \frac{z}{g(z)}(D_q f)(z) - \frac{1}{1-q} \right| \leq \frac{1}{1-q}$ という条件により定義される。
• $f(qz)$ と $f(z)$ を含む関数方程式におけるべき級数係数を等置することで係数の上限を導出し、$|w(z)| \leq 1 - q^2$ を満たす $f(qz) = w(z)f(z)$ の関係を用いる。
• 再帰関係 $a_n(q^n - q) = \sum_{k=1}^{n-1} w_{n-k} a_k$ を用いて $|a_n|$ の逐次推定を行い、$|a_n|$ の積表示を得る。
• Bieberbach-de Branges定理が $\mathcal{S}_q^*$ に一般化され、$|a_n| \leq \left( \frac{1 - q^2}{q - q^n} \right) \prod_{k=2}^{n-1} \left(1 + \frac{1 - q^2}{q - q^k} \right)$ の形の上限が得られる。
• 比の判定法を用いて得られたべき級数の収束性を分析し、$|z| < q/(q + 1 - q^2)$ の円板内で収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板内のべき級数が$q$-近接凸関数を生成するための係数条件は何か？
• RQ2 ディログラミス関数や基本超幾何級数などの特殊関数のうち、$\mathcal{K}_q$ クラスに属するものは何か？
• RQ3 古典的Bieberbach予想問題は、$q$-近接凸関数へどのように拡張可能であり、その結果得られる係数上限の$q$-アナログは何か？
• RQ4 $q \to 1^-$ の極限において、$q$-Bieberbach上限はどのように振る舞い、古典的結果 $|a_n| \leq n$ を回復するか？
• RQ5 $q$-Bieberbach係数推定から得られるべき級数の収束領域は何か？

主な発見

• 本稿では、$q$-星型関数に対してBieberbach-de Branges定理の$q$-アナログを確立し、$f \in \mathcal{S}_q^*$ に対して $|a_n| \leq \left( \frac{1 - q^2}{q - q^n} \right) \prod_{k=2}^{n-1} \left(1 + \frac{1 - q^2}{q - q^k} \right)$ を証明する。
• $f \in \mathcal{K}_q$ の場合、係数の上限は $|a_{3n-1}| \leq \frac{1 - q}{1 - q^{3n-1}} (-q + 2(1 + q)n)$、$|a_{3n}| \leq \frac{2(1 - q)}{1 - q^{3n}} (1 + q)n$、$|a_{3n+1}| \leq \frac{1 - q}{1 - q^{3n+1}} (1 + 2(1 + q)n)$ である。
• $q \to 1^{-}$ の極限において、$q$-Bieberbach上限は $n$ に収束し、星型関数に対する古典的Bieberbach上限 $|a_n| \leq n$ を回復する。
• 特定のディログラミス型関数が $\mathcal{K}_q$ クラスに含まれることが示され、単値関数論における特殊関数の既知の結果が拡張される。
• 係数 $A_n$ が $q$-Bieberbach上限により定義されるべき級数 $z + \sum_{n=2}^\infty A_n z^n$ は、$|z| < q/(q + 1 - q^2)$ の円板内で収束する。
• $q \to 1^{-}$ の極限において、クラス $\mathcal{K}_q$ は古典的 $\mathcal{K}$ に還元され、古典理論と整合性が確認される。