[論文レビュー] On a group associated to $z^2-1$

Laurent Bartholdi, Rostislav Grigorchuk|ArXiv.org|Mar 23, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、二次多項式 $f(z) = z^2 - 1$ に関連する反復モノドロミー群 $G$ を構成し、それが二分木上で作用することを示し、群論、力学系、幾何学の間の深い関係を明らかにする。主な結果は、$G$ のシュレーマー図の列がハウスドルフ距離において $f(z) = z^2 - 1$ のジュリア集合に収束することであり、群論的対象と複素力学系の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

We construct a group acting on a binary rooted tree; this discrete group mimics the monodromy action of iterates of $f(z)=z^2-1$ on associated coverings of the Riemann sphere. We then derive some algebraic properties of the group, and describe for that specific example the connection between group theory, geometry and dynamics. The most striking is probably that the quotient Cayley graphs of the group (aka ``Schreier graphs'') converge to the Julia set of $f$.

研究の動機と目的

• 被覆空間論と木の自己同型を用いて、有理写像 $f(z) = z^2 - 1$ に関連する反復モノドロミー群 $G$ を定義し、その性質を調べること。
• $G$ の代数的性質、特に弱いブランチ構造、ねじれのない性質、成長の種類を確立すること。
• $G$ の正則表現のスペクトル性質を調べ、$f(z)$ の力学系と関連付けること。
• シュレーマー図 $\mathfrak{G}_n$ がハウスドルフ距離において $f(z) = z^2 - 1$ のジュリア集合に収束することを示すこと。
• $G$ の完全な提示を与え、その商構造とコhomological性質を分析すること。

提案手法

• 基点を三回穴だらけの球面 $\mathbb{C} \setminus \{0,1,\infty\}$ にとる逆反復のモノドロミー作用を用いて、$2$-正則な根付き木の自己同型の部分群として反復モノドロミー群 $G = G(f)$ を構成する。
• 生成子 $a$ と $b$ を用いた自己同型的構造により、$a = \langle b,1 \rangle (1,2)$ および $b = \langle a,1 \rangle$ と表される wreath 積表現を用いて $G$ を記述する。この表現は、部分木における自己同型的自己相似性を符号化する。
• 再帰的関係とシュレーマー図 $\mathfrak{G}_n$（$2^n$ 個の頂点を持つ）の再帰的構成を用いて、群の構造を解析する。辺は $a$ と $b$ でラベル付けされる。
• 再帰的多項式系 $Q_{n+1}(\lambda,\mu,\nu) = Q_n(F(\lambda,\mu,\nu))$ を用いて、$L^2(\partial T)$ 上の正則表現 $\pi$ のスペクトルを導出する。ここで $F(\lambda,\mu,\nu) = (\lambda^2 + 2\lambda\nu - 2\mu^2, \lambda\nu + 2\nu^2, -\mu^2)$ である。
• 表現 $\pi$ のスペクトルが、$F$ による $\{Q_1 = 0\}$ の逆軌道の閉包と直線 $\mu = \nu = -1/4$ の共通部分集合であることを証明する。
• 平面埋め込みと双曲的力学の結果を用いて、シュレーマー図 $\mathfrak{G}_n$ がジュリア集合 $\mathfrak{J}$ に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復モノドロミー群 $f(z) = z^2 - 1$ を自己相似的木自己同型を用いて明示的に構成し、記述することは可能か？
• RQ2 この群の代数的性質、例えば成長、ねじれのなさ、商の可解性とは何か？
• RQ3 群の正則表現のスペクトルは $f(z)$ の力学系とどのように関係しているか？
• RQ4 この群のシュレーマー図を複素平面に埋め込むことで、ジュリア集合に収束させることは可能か？
• RQ5 特に第二ホモロジー群に関して、群のコホモロジーとその力学的構造の関係は何か？

主な発見

• 群 $G$ は弱いブランチ的である。これは、木の各レベルで非自明に作用する非自明な正規部分群を含むことを意味する。
• 群 $G$ はねじれがない。これは、非自明な元が有限位数を持たないことを意味する。
• 群 $G$ はランク $2$ の自由モノイドを含むため、指数的成長を示すが、非アーベル自由群を含まない。
• すべての真の商は（自由アーベル群）-by-（有限 $2$-群）であり、$G$ 自身は可解でない。
• 群 $G$ は、すべての $p$ が $2$ のべきであるとき、関係 $[[a^p, b^p], b^p]$ および $[[b^p, a^{2p}], a^{2p}]$ を持つ提示を持つ。
• シュレーマー図 $\mathfrak{G}_n$ はハウスドルフ距離において $z^2 - 1$ のジュリア集合 $\mathfrak{J}$ に収束し、平面的かつ $2^k$-角形と部分木に基づく再帰的構造を持つ。