[論文レビュー] On a Hardy-Littlewood theorem

Elijah Liflyand, Ulrich Stadtmüller|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

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ひとこと要約

この論文は、実数直線上の関数に対するフーリエ級数の絶対収束に関する古典的ハーディー＝リトルウッド定理を拡張し、関数とその共役関数（修正されたヒルベルト変換を用いて定義）が両方とも有界 Variation を持ち、無限大で消えるならば、それらのフーリエ変換は可積分であることを証明する。この結果は、ハーディー型不等式と実数直線上のハーディー空間 $ H^1(\mathbb{R}) $ を用いて導出され、元の周期的定理は関数がコンパクトな台を持つ場合の特別な場合であることが示される。

ABSTRACT

A known Hardy-Littlewood theorem asserts that if both the function and its conjugate are of bounded variation, then their Fourier series are absolutely convergent. It is proved in the paper that the same result holds true for functions on the whole axis and their Fourier transforms with certain adjustments. The proof of the original Hardy-Littlewood theorem is derived from the obtained assertion. It turned out that the former is a partial case of the latter when the function is supposed to be of compact support. A similar result as the obtained one but for radial functions is derived from the one-dimensional case.

研究の動機と目的

• フーリエ級数の絶対収束に関する古典的ハーディー＝リトルウッド定理を、実数直線上の関数へ一般化すること。
• 関数 $ \mathbb{R} $ 上でフーリエ変換が可積分となる条件を確立すること。フーリエ級数の収束性の代わりに、フーリエ変換の $ L^1 $-可積分性を採用すること。
• 関数がコンパクトな台を持つ場合に、元のハーディー＝リトルウッド定理が新しい結果の特別な場合として得られることを示すこと。
• 1次元の結果を、レラの公式と1次元理論を用いて、高次元における径数関数へ拡張すること。

提案手法

• 有界関数に対して存在を保証するため、補正項 $ \frac{t}{1+t^2} $ を含む修正ヒルベルト変換 $ \widetilde{f}(x) $ を定義する。
• リーマン点におけるほとんど everywhere で $ \frac{d}{dx}\widetilde{f}(x) = \mathcal{H}f'(x) $ が成り立つことを、部分積分と局所的絶対連続性に依拠して確立する。
• 関数 $ f $ と $ \widetilde{f} $ の有界 Variation 性を用いて、$ f' \in H^1(\mathbb{R}) $ を確認する。具体的には $ \|f'\|_{L^1} + \|\mathcal{H}f'\|_{L^1} < \infty $ を満たすことを示す。
• ハーディー型不等式 $ \int_{\mathbb{R}} \frac{|\widehat{f'}(x)|}{|x|} dx \leq \|f'\|_{H^1} $ を用い、フーリエ変換の $ L^1 $-ノルムと $ H^1 $-ノルムを結びつける。
• $ \widehat{\mathcal{H}f'}(x) = i \operatorname{sign}(x) \widehat{f'}(x) $ の関係を用いて、$ \widetilde{f} $ のフーリエ変換と $ \widehat{f'} $ を結びつけ、$ \widehat{\widetilde{f}} $ の $ L^1 $-可積分性を可能にする。
• 径数関数に対してレラの公式を適用し、多変数フーリエ変換を1次元の振動積分に還元し、得られた核関数に主定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f $ が $ \mathbb{R} $ 上で満たすどのような条件下で、そのフーリエ変換 $ \widehat{f} $ が可積分になるか？
• RQ2 フーリエ級数の絶対収束に関する古典的ハーディー＝リトルウッド定理が、実数直線上のより広範な結果の特別な場合として得られるか？
• RQ3 標準的ヒルベルト変換が存在しない非周期的で有界 Variation を持つ関数 $ \mathbb{R} $ 上の共役関数の概念を、どのように修正すればよいか？
• RQ4 高次元 $ \mathbb{R}^n $ 上の径数関数のフーリエ変換が、その径数プロファイルの1次元的性質に基づいて、ルベーグ可積分となるための条件は何か？
• RQ5 $ H^1(\mathbb{R}) $ 空間とハーディー型不等式は、非周期的設定における古典的フーリエ解析の結果をどの程度拡張可能か？

主な発見

• 関数 $ f $ が $ \mathbb{R} $ 上で有界 Variation を持ち、無限大で消え、かつその共役関数 $ \widetilde{f} $ も有界 Variation であるならば、$ \mathbb{R} $ 上で $ \widehat{f} $ と $ \widehat{\widetilde{f}} $ の両方が可積分である。
• 共役関数の微分は、ほとんど everywhere で $ \frac{d}{dx}\widetilde{f}(x) = \mathcal{H}f'(x) $ を満たす。これは $ H^1(\mathbb{R}) $ 空間に接続する上で不可欠である。
• 仮定のもとで $ f' $ は実数直線上のハーディー空間 $ H^1(\mathbb{R}) $ に属する。これは $ \|f'\|_{L^1} $ と $ \|\mathcal{H}f'\|_{L^1} $ が両方とも有限であるためである。
• ハーディー型不等式 $ \int_{\mathbb{R}} \frac{|\widehat{f'}(x)|}{|x|} dx \leq \|f'\|_{H^1} $ により、$ \|\widehat{f}\|_{L^1} \leq \|f'\|_{H^1} $ が導かれる。これにより $ \widehat{f} $ の可積分性が確立される。
• 関数 $ f $ がコンパクトな台を持つ場合、元のハーディー＝リトルウッド定理が特別な場合として回復される。このとき修正ヒルベルト変換は標準的変換に簡略化され、コンパクト台を持つ関数のフーリエ変換は可積分になる。
• 高次元 $ \mathbb{R}^n $ 上の径数関数について、関連核 $ I(t) $ の $ (n-1) $ 階微分が1次元定理の条件を満たしているならば、$ f $ の多変数フーリエ変換は可積分である。