[論文レビュー] On a Heath-Jarrow-Morton approach for stock options

Jan Kallsen, Paul Krühner|arXiv (Cornell University)|May 24, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所ボラティリティモデルの代わりに時刻非一様な Lévy 確率過程を用いて、すべてのストリクと満期における株式オプション価格表面をモデル化する Heath-Jarrow-Morton (HJM) フレームワークを提案する。アービタージュの不在のための必要十分条件を確立し、基本的構成要素が与えられたもとで、アービタージュのないモデルの存在および一意性を証明する。これは、株式オプション分野における従来の HJM 手法よりも、より柔軟でジャンプに強い代替手法を提供する。

ABSTRACT

This paper aims at transferring the philosophy behind Heath-Jarrow-Morton to the modelling of call options with all strikes and maturities. Contrary to the approach by Carmona and Nadtochiy (2009) and related to the recent contribution Carmona and Nadtochiy (2012) by the same authors, the key parametrisation of our approach involves time-inhomogeneous Lévy processes instead of local volatility models. We provide necessary and sufficient conditions for absence of arbitrage. Moreover we discuss the construction of arbitrage-free models. Specifically, we prove their existence and uniqueness given basic building blocks.

研究の動機と目的

• すべてのストリクと満期におけるコール・オプション価格の表面を包括的にモデル化する HJM 型フレームワークの構築を目的とする。
• 局所ボラティリティに基づく従来の HJM モデルの理論的欠陥を是正するため、それらを時間非一様な Lévy 確率過程に置き換えること。
• 得られるオプション価格表面モデルにおけるアービタージュの不在のための必要十分条件を確立すること。
• 基本的構成要素に関する一般仮定のもとで、アービタージュのないモデルの存在および一意性を証明すること。
• ジャンプを扱える柔軟で頑健なモデル化手法を提供し、特に短期満期オプションにおいて特に有効である。

提案手法

• モデルは、時間非一様な Lévy 確率過程を核心的な確率的駆動要因として用いて、オプション価格表面をパrameter化する。
• アービタージュの不在を保証するドリフト条件を導出し、HJM ドリフト制限を Lévy 確率過程の設定に一般化する。
• サブオルダイナに駆動される Fréchet 空間上の確率微分方程式に依拠し、無限次元状態動的を可能にする。
• Bochner 積分とファクターマッピングを用いた有限次元近似への極限手続きにより、存在性と一意性を証明する。
• 状態空間の因数分解を用いて、無限次元 SDE を有限次元問題の系列に還元する。
• Barndorff-Nielsen と Shephard の確率的ボラティリティモデルに関連する具体的な例を通じて、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HJM の思想を、時間非一様な Lévy 確率過程を用いて、すべてのストリクと満期における株式オプションの価格表面をモデル化する方法にどのように適応できるか。
• RQ2 このようなモデルにおけるドリフトおよびボラティリティ構造にどのような条件がアービタージュの不在を保証するか。
• RQ3 このフレームワークにおいて、基本的構成要素から一意にアービタージュのないオプション価格表面モデルを構築できるか。
• RQ4 Lévy 確率過程に基づくパrameter化は、局所ボラティリティモデルに比べて、柔軟性および現実性の面でどのように向上するか。
• RQ5 提案されたモデルと、Barndorff-Nielsen と Shephard のような既存の確率的ボラティリティモデルとの関係は何か。

主な発見

• 本稿は、オプション価格表面モデルにおけるアービタージュの不在のための必要十分条件を確立し、Lévy 確率過程の設定に一般化された HJM ドリフト条件を導出する。
• 入力成分にややきめの規則性条件が課せられれば、オプション表面を記述する無限次元 SDE の解の存在およびパスごとの一意性を証明する。
• モデルフレームワークはジャンプを扱えるものであり、特に短期満期オプションに適しており、局所ボラティリティモデルの主要な欠陥を是正する。
• Barndorff-Nielsen と Shephard の確率的ボラティリティモデルに対応する具体的な例が構築され、フレームワークが既知のモデルと整合することを検証する。
• すべてのオプション表面を状態変数として埋め込むことで、頻繁な再キャリブレーションの必要性を回避し、理論的整合性を高める。
• 解は有限次元近似への極限手続きによって構築され、Fréchet 空間の位相において収束を保証する。