[論文レビュー] On a higher order multi-term time-fractional partial differential equation involving Caputo-Fabrizio derivative

Sardor Pirnapasov, Erkinjon Karimov|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、変数分離法と部分積分を用いて、Caputo-Fabrizio微分を用いた高階多項式時間分数型PDEを、等価な整数階PDEに還元する手法を提案する。特定の滑らかさおよび初期条件制約の下で、境界値問題に対するフーリエ級数解の一意的可解性と一様収束性を確立し、k=2の場合のアプローチを示している。

ABSTRACT

In the present work we discuss higher order multi-term partial differential equation (PDE) with the Caputo-Fabrizio fractional derivative in time. We investigate a boundary value problem for fractional heat equation involving higher order Caputo-Fabrizio derivatives in time-variable. Using method of separation of variables and integration by parts, we reduce fractional order PDE to the integer order. We represent explicit solution of formulated problem in particular case by Fourier series.

研究の動機と目的

• 高階多項式時間分數PDEにCaputo-Fabrizio微分を用いた場合に、等価な整数階PDE系に還元する体系的な手法を開発すること。
• 時間にCaputo-Fabrizio微分を含む分數型熱方程式の境界値問題の解の存在と一意性を証明すること。
• 特定の正則性および初期条件制約の下で、解のフーリエ級数表現の一様収束性を確立すること。
• Caputo-Fabrizio微分の適用範囲を、数学的物理における高階および多項式分數PDEに拡張すること。

提案手法

• 空間的フーリエ級数に分解するための変数分離法を用い、$ u(t,x) = \sum_{m=1}^{\infty} T_m(t) \sin m\pi x $ と表す。
• Caputo-Fabrizio微分に部分積分を適用し、$ {}_{CF}D_{0t}^{\alpha+n}T_m(t) $ を $ T_m^{(i)}(t) $, $ T_m^{(i)}(0) $, および畳み込み積分で表す明示的表現を導出する。
• 代数的変形により分数階微分を除去することで、$ T_m(t) $ に対する分数階初期値問題を等価な整数階微分方程式系に還元する。
• 関数 $ f_{4,0}(t), f_{4,1}(t), f_{4,2}(t) $ の積分を含む推定を用いて、係数 $ C_j $ の境界を確立する。これらは $ f(t,x) $ の4階空間微分から導かれる。
• 収束を保証するため、$ f(t,x) $ に、$ t=0 $ における3階時間微分および2階空間微分が境界で消える条件を課す。
• フーリエ級数解の一様収束性を証明するため、$ |T_m(t)| \leq \frac{M_{20}}{(m\pi)^4} $ を導出し、解が適切に定義され連続であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階多項式時間分數PDEにCaputo-Fabrizio微分を用いた場合、体系的に等価な整数階PDE系に還元可能か？
• RQ2 このような分數PDEのフーリエ級数解の一様収束性を保証するための、源関数 $ f(t,x) $ に必要な条件は何か？
• RQ3 Caputo-Fabrizio分數微分の文脈において、複数の時間微分を含む初期条件を一貫して取り扱う方法は何か？
• RQ4 非特異核が、分數微分から整数階系への還元を可能にする役割を果たすメカニズムは何か？
• RQ5 時間にCaputo-Fabrizio微分を含む分數型熱方程式の境界値問題の解は一意的であり、一様収束するフーリエ級数で表現可能か？

主な発見

• k=2の境界値問題(2)–(4)の解は、一意的にフーリエ級数 $ u(t,x) = \sum_{m=1}^{\infty} T_m(t) \sin m\pi x $ として表現可能であり、$ T_m(t) $ は低次元の整数階常微分方程式系を満たす。
• 関数 $ f(t,x) \in C^2(\overline{\Omega}) $ および $ \partial^3 f / \partial t^3 \in C(\Omega \cup \{t=0\}) $ の条件下で、フーリエ級数解の一様収束性が証明され、$ t=0 $ および $ x=0,1 $ における $ f $ 及びその導関数に追加の制約を課す。
• 解の式における係数 $ C_j $ は、$ |C_j| \leq M_1 |d_1| + M_2 |d_2| + M_3 |d_3| $ で有界であり、$ d_1, d_2, d_3 $ は $ f_{4,0}, f_{4,1}, f_{4,2} $ の積分を含むため、有界性が保証される。
• 解は $ |T_m(t)| \leq \frac{M_{20}}{(m\pi)^4} $ を満たし、これは $ |u(t,x)| \leq \frac{M_{21}}{(m\pi)^4} $ を意味し、級数項の減衰率が確認される。
• Caputo-Fabrizio微分の非特異核のおかげで、部分積分により整数階系への明確な還元が可能となり、高階多項式分數PDEの解析的取り扱いが可能になる。
• 本手法は一般の $ k \in \mathbb{N}_0 $ に拡張可能であり、解の構造は判別式 $ \Delta_m $ の符号に依存する。スペクトル問題への応用も可能である。