[論文レビュー] On a hyperbolic system arising in liquid crystals modeling

Eduard Feireisl, Elisabetta Rocca+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非粘性 Qian-Sheng モデルに基づくネマチック液晶をモデル化する双曲型系のための、散逸的解という新しい概念を導入する。任意の有限エネルギー初期データに対して、このような解の時間全域での存在を確立し、弱い解と強い解の一意性を証明することで、散逸的解が存在する間、古典的解と一致することを保証する。

ABSTRACT

We consider a model of liquid crystals, based on a nonlinear hyperbolic system of differential equations, that represents an inviscid version of the model proposed by Qian and Sheng. A new concept of dissipative solution is proposed, for which a global-in-time existence theorem is shown. The dissipative solutions enjoy the following properties: (i) they exist globally in time for any finite energy initial data; (ii) dissipative solutions enjoying certain smoothness are classical solutions; (iii) a dissipative solution coincides with a strong solution originating from the same initial data as long as the latter exists.

研究の動機と目的

• 慣性項を含むネマチック液晶をモデル化する非線形双曲型系に対する時間全域での存在問題に取り組む。
• 粘性の欠如と双曲型項の存在により、非粘性エーラー型系では時間全域での弱解が存在しないという問題を克服するため、新たな解の概念を導入する。
• 有限エネルギー初期データに対して時間全域での存在を保証するとともに、古典的解と整合性を持つフレームワークを確立する。
• Qテンソルモデルの文脈において、散逸的解の概念を検証するための弱–強い一意性結果を提供する。

提案手法

• Lions によるエーラー方程式の概念を拡張し、双曲型 Qian-Sheng 系に特化した新たな散逸的解のクラスを提案する。
• 相対エネルギー法を用いて、散逸的解と滑らかな強い解の距離を制御するエネルギー不等式を導出する。
• エネルギー法を用いて、適切なソボレフ空間に属する初期データに対する時間局所的古典的解の存在を証明する。
• Qテンソルの非圧縮性およびトレースゼロ制約を満たすために、ラグランジュ乗数（圧力およびλI）を導入する。
• 欠損測度と散逸項を含む相対エネルギー不等式を導出し、弱収束の制御を可能にする。
• Gronwall の補題を相対エネルギー不等式に適用し、弱–強い一意性および長時間安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性がなく、双曲型項を有する非粘性 Qian-Sheng モデルに対して、時間全域での解を構成することは可能か？
• RQ2 時間全域での存在を保証するとともに、古典的解と整合性を持つ新たな解の概念は存在するか？
• RQ3 正則化粘性の欠如下でも、この双曲型系に対して弱–強い一意性を確立できるか？
• RQ4 拡張された循環およびホリシティ保存は、この系の力学的挙動において果たす役割は何か？
• RQ5 欠損測度と散逸項は、近似解の真の解への収束にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の有限エネルギー初期データに対して、双曲型 Qian-Sheng 系の散逸的解の時間全域での存在定理が確立された。
• 古典的解が存在する間、散逸的解はそれらと一致するため、滑らかな力学と整合性が保証される。
• 十分に滑らかな任意の散逸的解は、必然的に古典的解であることが示された。これにより、新たな解の概念の正則性が検証された。
• 弱–強い一意性の性質が成立する。すなわち、散逸的解は、強い解が存在する時間区間内では、それと一致する。
• エネルギー法を用いて導出された相対エネルギー不等式（欠損測度を含む）をGronwallの補題に適用することで、解の差の制御が可能になった。
• 系は全エネルギーを保存し、拡張された循環およびホリシティ保存を示す。これは、Euler型構造を反映している。