[論文レビュー] On a J-polar decomposition of a bounded operator and matrix representations of J-symmetric, J-skew-symmetric operators

Sergey M‎. ‎Zagorodnyuk|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、共役作用素 $ J $ を備えたヒルベルト空間上の有界線形作用素に対して J-極分解を確立し、古典的極分解を J-対称的および J-反対称的作用素へ拡張する。null 集合 $ H_{J;0} = \{x \in H : [x,x]_J = 0\} $ を特徴づけ、それが内部点を持たない閉部分空間であることを証明し、その中に正規直交基底を構成することで、J-対称的および J-反対称的作用素の行列表現を可能にする。

ABSTRACT

In this work a possibility of a decomposition of a bounded operator which acts in a Hilbert space $H$ as a product of a J-unitary and a J-self-adjoint operators is studied, $J$ is a conjugation (an antilinear involution). Decompositions of J-unitary and unitary operators which are analogous to decompositions in the finite-dimensional case are obtained. A possibility of a matrix representation for J-symmetric, J-skew-symmetric operators is studied. Also, some simple properties of J-symmetric, J-antisymmetric, J-isometric operators are obtained, a structure of a null set for a J-form is studied.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間に共役作用素 $ J $ を備えた有界線形作用素に対する、古典的極分解に類似した J-極分解を構築すること。
• 共役作用素 $ J $ に対応する基底を用いて、J-対称的および J-反対称的作用素の行列表現を研究すること。
• null 集合 $ H_{J;0} = \{x \in H : [x,x]_J = 0\} $ の構造、特にその位相的および代数的性質を特徴づけること。
• $ H_{J;0} $ が内部点を持たず、閉かつ稠密な部分空間であり、$ [x,x]_J = 0 $ を満たす正規直交基底を有することを確立すること。

提案手法

• 共役作用素 $ J $ が $ J^2 = E $ および $ (Jx,Jy) = \overline{(x,y)} $ を満たすものとして、J-内積 $[x,y]_J := (x, Jy)$ を定義する。
• J-対称的および J-反対称的作用素を、それぞれ $ [Ax,y]_J = [x,Ay]_J $ および $ [Ax,y]_J = -[x,Ay]_J $ により定義する。
• $ x = \sum x_k f_k $ に対して $ Jx = \sum \overline{x_k} f_k $ を満たす J-正規直交基底 $ \mathcal{F} = \{f_k\}_{k \in \mathbb{Z}_+} $ を構成する。
• J-ノルムがゼロであるベクトルの集合として J-null 集合 $ H_{J;0} $ を定義し、その位相的および代数的構造を分析する。
• ノルム連続性と背理法を用いて、$ H_{J;0} $ が閉かつスカラー倍および $ J $ に関して不変であり、内部点を持たないことを証明する。
• $ H_{J;0} $ 内に $ \{f_{2k,2k+1}^\pm\}_{k \in \mathbb{Z}_+} $ という正規直交基底を構成し、それが空間全体 $ H $ を張ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 J-null 集合 $ H_{J;0} = \{x \in H : [x,x]_J = 0\} $ の構造は何か？また、共役作用素 $ J $ とどのように関係しているか？
• RQ2 ヒルベルト空間に共役作用素 $ J $ を備えた有界線形作用素に対して、古典的極分解に類似した J-極分解を確立できるか？
• RQ3 J-対称的および J-反対称的作用素のスペクトル的性質は、J-正規直交基底におけるその行列表現とどのように関連しているか？
• RQ4 J-null 集合 $ H_{J;0} $ はヒルベルト空間において稠密か？また、J-ノルムがゼロである正規直交基底を有するか？
• RQ5 $ H_{J;0} $ は $ J $、スカラー倍、および線形結合に関して不変であり、閉じているか？

主な発見

• J-null 集合 $ H_{J;0} $ はヒルベルト空間 $ H $ の閉部分空間であり、スカラー倍および共役作用素 $ J $ に関して不変である。
• 集合 $ H_{J;0} $ は内部点を持たない。これはノルム連続性と背理法を用いて証明された。
• 集合 $ H_{J;0} $ は $ H $ において稠密である。なぜなら、その中に空間全体を張る正規直交基底 $ \{f_{2k,2k+1}^\pm\}_{k \in \mathbb{Z}_+} $ を含むからである。
• $ f_{k,l}^\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}(f_k \pm i f_l) $ （ただし $ k=2m, l=2m+1 $）として、$ H_{J;0} $ 内の正規直交基底を明示的に構成し、$ [f_{k,l}^\pm, f_{k,l}^\pm]_J = 0 $ を満たすことを示した。
• J-null 集合は $ H_{J;0} = \{x = x_R + i x_I : x_R, x_I \in H_R, \|x_R\| = \|x_I\|, (x_R, x_I) = 0\} $ として特徴づけられる。ここで $ H_R $ は J-正規直交基底において実数係数を持つベクトルの集合である。
• 有界作用素に対して J-極分解が確立され、古典的極分解を一般化し、J-正規直交基底における J-対称的および J-反対称的作用素の行列表現を可能にする。