[論文レビュー] On a Jordan-algebraic formulation of quantum mechanics: Hilbert space construction

Wolfgang Bischoff|ArXiv.org|Apr 26, 1993

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、GNS型の構成を用いて、実ヒルベルト空間と観測可能のジュリアン表現を構成することによって、量子力学のジュリアン代数的定式化を提示する。このアプローチにより、実ヒルベルト空間上にシュレーディンガー方程式が得られ、観測可能のジュリアン代数のみに依拠する基礎的再定式化を可能にする。

ABSTRACT

In this note I discuss some aspects of a formulation of quantum mechanics based entirely on the Jordan algebra of observables. After reviewing some facts of the formulation in the \CS -approach I present a Jordan-algebraic Hilbert space construction (inspired by the usual GNS-construction), thereby obtaining a real Hilbert space and a (Jordan-) representation of the algebra of observables on this space. Taking the usual case as a guideline I subsequently derive a Schrödinger equation on this Hilbert space.

研究の動機と目的

• 標準のC*-代数的枠組みを避けて、観測可能なジュリアン代数に完全に依拠する量子力学の定式化を開発すること。
• 量子理論が観測可能な代数的構造のみから再構成可能かどうかという基礎的問いに応えること。
• 観測可能な代数のヒルベルト空間表現を獲得するために、GNS構成をジュリアン代数へ一般化すること。
• 構成された実ヒルベルト空間上で動的方程式（特にシュレーディンガー方程式）を導出すること。
• 物理的内容を保持する（ジュリアン-）表現を備えた実ヒルベルト空間構造を確立すること。

提案手法

• C*-代数からジュリアン代数の観測可能な設定へ、ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール（GNS）構成を適応する。
• 正定値内積に基づく関数の同値類を用いて、ジュリアン代数上の状態から実ヒルベルト空間を構成する。
• 代数の要素によって誘導される作用素の作用を通じて、ジュリアン代数の実ヒルベルト空間上への表現を定義する。
• 観測可能な代数にジュリアン積構造を導入し、表現における積の結合的および可換性を保証する。
• ジュリアン代数の自己随伴構造に類似した方法で、ヒルベルト空間上の時間発展方程式を導出する。
• 表現が元のジュリアン代数の代数的関係（特にジュリアン恒等式を含む）を保持することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測可能なジュリアン代数から、完全な量子力学的ヒルベルト空間を構成可能か？
• RQ2 GNS構成を一般化して、ジュリアン代数のための実ヒルベルト空間表現をどのように得られるか？
• RQ3 構成された実ヒルベルト空間上で導かれる動的方程式は何か？ そして、標準のシュレーディンガー方程式とどのように関係するか？
• RQ4 得られた表現が、遷移確率や対称性などの量子力学の物理的内容を保持するか？
• RQ5 観測可能なもののみに依拠する量子理論の基礎的定式化において、実ヒルベルト空間が果たす役割は何か？

主な発見

• GNS型の手法を用いて、観測可能なジュリアン代数上の状態から実ヒルベルト空間が成功裏に構成された。
• 観測可能なジュリアン代数は、この実ヒルベルト空間上で表現可能であり、観測可能な代数的構造を保持している。
• 実ヒルベルト空間上でシュレーディンガー型方程式が導出され、ジュリアン代数的枠組みと整合的な動的発展則が得られた。
• この構成は、フォン・ノイマン代数の場合に、標準的ヒルベルト空間定式化と同型である表現をもたらす。
• ヒルベルト空間上の内積が正定値であることを保証するため、一貫した確率的解釈が可能である。
• このアプローチは、C*-代数的構造への言及なしに、量子力学が観測可能なジュリアン代数のみから再構成可能であることを示している。