[論文レビュー] On a Kirchhoff type problems with potential well and indefinite potential

Yuanze Wu, Yisheng Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^3$ 上の不定ポテンシャルおよびポテンシャル井戸を有するキルヒホッフ型問題を、変分法を用いて検討し、$4 < p < 6$ の範囲で非自明解の存在を確立する。また、パラメータ $\lambda \to +\infty$ のとき、解がポテンシャル井戸に集中することを証明し、非局所項を含む不定の場合における、このような問題の最初の存在結果を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we study the following Kirchhoff type problem:% $$ \left\{\aligned&amp;-\bigg(α\int_{\bbr^3}| abla u|^2dx+1\bigg)Δu+(λa(x)+a_0)u=|u|^{p-2}u&amp; ext{ in }\bbr^3,\\% &amp;u\in\h,\endaligned ight.\eqno{(\mathcal{P}_{α,λ})}% $$ where $4

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^3$ 上の不定ポテンシャルおよびポテンシャル井戸を有するキルヒホッフ型問題に対して非自明解の存在を確立すること。
• パラメータ $\lambda \to +\infty$ のときの解の集中挙動を、特に急勾配のポテンシャル井戸の文脈で分析すること。
• ポテンシャル $a(x)$ が非負であるが $a_0$ が負である不定の場合に、変分法を拡張し、文献における空白を埋めること。
• $a_0$ およびスペクトルギャップに関する適切な条件下で、$H^1(\mathbb{R}^3)$ 内で解 $u_{\alpha,\lambda_n} \to u_\alpha$ が強い収束を示すことを証明すること。
• 臨界点理論およびコンパクト性の議論を用いて、不定ポテンシャルを有する非局所楕円型問題を厳密に取り扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 非局所項 $\alpha \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 dx$ を含む、空間 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 上の変分汎関数 $I_{\alpha,\lambda}(u)$ として問題を定式化する。
• マウンテンパス定理およびエケランの変分原理を適用し、$I_{\alpha,\lambda}$ の臨界点（非自明解に相当）の存在を確立する。
• 濃縮・コンパクト性の原理および弱収束の議論を用いて、$\lambda \to +\infty$ のときの解の極限を分析する。
• 非線形項 $|u|^{p-2}u$ の制御のため、$p \in (4,6)$ に対して $H^1(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$ のソボレフ埋め込みを用いる。
• ポテンシャル井戸および不定ポテンシャルを取り扱うために、ノルム $\|u\|_\lambda^2 = \int_{\mathbb{R}^3} (|\nabla u|^2 + (\lambda a(x) + a_0)^+ |u|^2) dx$ を持つエネルギー空間 $E_\lambda$ を定義する。
• $L^1$ 収束定理およびコンパクト埋め込みを用いて、$\lambda_n \to +\infty$ のとき $u_{\alpha,\lambda_n} \to u_\alpha$ が $H^1(\mathbb{R}^3)$ 内で強い収束を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定ポテンシャルおよびポテンシャル井戸を有するキルヒホッフ型問題は、$\mathbb{R}^3$ 上に非自明解を有するか？
• RQ2 パラメータ $\lambda \to +\infty$ のとき、特に急勾配のポテンシャル井戸がある状況で、解はどのように振る舞うか？
• RQ3 $a_0 < 0$ でポテンシャル $a(x)$ が非負である不定の場合に、変分法をどのように適応可能にすることができるか？
• RQ4 $\lambda$ の増加に伴い、解がポテンシャル井戸に集中するための条件は何か？
• RQ5 極限解 $u_\alpha$ は非自明であり、$\lambda a(x)$ が極限挙動に置き換えられた極限問題 $(\mathcal{P}_\alpha^*)$ を満たすか？

主な発見

• 本稿は、$4 < p < 6$、$\alpha > 0$、$\lambda > 0$ および条件 $(A_1)$–$(A_3)$ の下で、キルヒホッフ型問題 $(\mathcal{P}_{\alpha,\lambda})$ に対して非自明解 $u_{\alpha,\lambda}$ の存在を確立する。
• $\lambda_n \to +\infty$ のとき、解 $u_{\alpha,\lambda_n}$ は $H^1(\mathbb{R}^3)$ 内で非自明な極限 $u_\alpha$ に強い収束する。これは $a_0 \geq 0$ または $a_0 < 0$ かつ $\beta_{k_0^* - 1} < 1$ のいずれかの条件下で成立する。
• 極限解 $u_\alpha$ は、$\lambda a(x)$ をその極限挙動に置き換えた極限問題 $(\mathcal{P}_\alpha^*)$ の非自明解である。
• エネルギー汎関数 $I_{\alpha,\lambda}$ はマウンテンパス幾何を有し、大きな $\lambda$ に対してセラミ条件が満たされるため、臨界点の存在が保証される。
• 解がポテンシャル井戸 $\Omega = \text{int}(a^{-1}(0))$ に集中することは、$H^1(\mathbb{R}^3)$ 内の強い収束および $\Omega$ 外部での $u_{\alpha,\lambda_n}$ の $L^2$ ノルムの減少を用いて確認される。
• 証明は、$\{u_{\alpha,\lambda_n}\}$ が $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 内で有界であること、およびソボレフ埋め込みとホルダーの不等式を用いて $u_{\alpha,\lambda_n} - u_\alpha$ の $L^p$ ノルムを制御することに依存する。