[論文レビュー] On a linear stability issue of split form schemes for compressible flows

Vikram Singh, Praveen Chandrashekar|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、圧縮流れに対する分割形式不連続ガラーキンスキームにおける線形安定性問題を特定し、標準的な運動エネルギー保存（KEP）スキームが線形化解析において摂動エネルギーを保存しないことを見いだした。エネルギーフラックスを連続的エネルギー摂動方程式に一致させるように修正することで、エネルギー保存と安定性を保証する修正されたKEPスキームを提案し、ノードルDG法を用いた数値実験により検証された。

ABSTRACT

Split form schemes for Euler and Navier-Stokes equations are useful for computation of turbulent flows due to their better robustness. This is because they satisfy additional conservation properties of the governing equations like kinetic energy preservation leading to a reduction in aliasing errors at high orders. Recently, linear stability issues have been pointed out for these schemes for a density wave problem and we investigate this behaviour for some standard split forms. By deriving linearized equations of split form schemes, we show that most existing schemes do not satisfy a perturbation energy equation that holds at the continuous level. A simple modification to the energy flux of some existing schemes is shown to yield a scheme that is consistent with the energy perturbation equation. Numerical tests are given using a discontinuous Galerkin method to demonstrate these results.

研究の動機と目的

• 圧縮Euler方程式のための分割形式スキームの線形安定性を調査し、特に摂動エネルギー保存の観点から検討すること。
• 理論的に堅牢であるにもかかわらず、密度波問題において既存の運動エネルギー保存（KEP）スキームが不安定性を示す理由を特定すること。
• 連続PDEの線形化エネルギー摂動方程式と整合するように、修正されたKEPフラックスを導出すること。
• ノードル不連続ガラーキン（DG）法を用いた数値実験を通じて、改善された安定性および保存性を検証すること。

提案手法

• 定常密度波解のまわりで圧縮Euler方程式を線形化し、連続的摂動エネルギー方程式を導出する。
• Gauss-Lobatto-Legendreグリッド上でのノードルDG法を用いて、中央、KG、KEPフラックスを含むさまざまな分割形式スキームの線形化半離散方程式を導出する。
• 各スキームにおける摂動のエネルギー変化を分析し、連続的エネルギー方程式との不一致、特に摂動エネルギー保存の欠如に起因する不一致を特定する。
• 離散レベルでエネルギー摂動方程式を満たすようにエネルギーフラックスを調整することで、修正されたKEPフラックスを提案し、エネルギー保存を保証する。
• 修正されたスキームをノードルDGフレームワークに実装し、標準的な分割形式と比較して安定性および保存性を評価する。
• 密度波問題を用いた数値実験を実施し、固有値の安定性および時間発展に伴うエネルギー変化を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ運動エネルギー保存を満たす分割形式スキームであっても、密度波問題において線形不安定性を示すのか？
• RQ2 既存の分割形式スキームにおける連続的および離散的エネルギー摂動方程式の間にはどのような差異があるのか？
• RQ3 線形化系において摂動エネルギーを保存するように、修正されたKEPフラックスを構築できるか？
• RQ4 修正されたスキームは、ノードルDG法を用いた数値シミュレーションにおいても安定性および保存性を維持するか？
• RQ5 固有値の安定性およびエネルギー変化の観点から、修正されたKEPスキームは標準的な分割形式スキームとどのように異なるか？

主な発見

• 標準的な分割形式スキーム、KEPおよびKGフラックスを含め、線形化系において摂動エネルギーを保存しないことが判明し、運動エネルギー保存のにもかかわらず不安定性が生じる。
• 中央スキームに対しても、簡略化された摂動エネルギーが保存されないことが判明し、標準的な配置DGスキームにエネルギー保存が内在しているわけではないことが示された。
• 提案された修正KEPフラックスにより、離散的摂動エネルギーが保存され、線形化系においてエネルギー変化が恒等的にゼロになることが保証された。
• 数値実験により、修正されたスキームが安定な固有値を示し、標準的なKEPおよびKGスキームとは異なり、物理的に不自然な摂動の増大を回避することが確認された。
• 修正されたスキームは、連続方程式と整合的に、密度摂動の対流輸送を正しく捉え、不自然な蓄積を生じさせない。
• 修正されたKEPフラックスにより、連続的エネルギー原理との整合性が回復され、密度波問題における線形安定性問題が解消された。