[論文レビュー] On a maximum of nearest-neighbor random walk with asymptotically zero drift on lattice of positive half line

Hongyan Sun, Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2020

Probability and Risk Models参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正の半直線上の近接隣接ランダムウォークにおける漸近的零のドリフトを有する場合の最大値 $ M $ の漸近的分布を研究し、Lamperti型ドリフトによってモデル化される遷移確率の摂動が $ M $ の尾部挙動に与える影響を特に分析する。主な結果は、$ n \to \infty $ のとき $ P(M=n, D<\infty) $ の減衰速度を特徴づけ、多項式と指数関数の間の途中の速度を示し、$ K $ と $ B $ に依存する対数の反復形 $ (n \log n \cdots \log_{K-1}n)^{-1} $ を含む。

ABSTRACT

Consider a nearest-neighbor random walk with certain asymptotically zero drift on the positive half line. Let $M$ be the maximum of an excursion starting from $1$ and ending at $0.$ We study the distribution of $M$ and characterize its asymptotics, which is quite different from those of simple random walks.

研究の動機と目的

• 1 から出発し 0 で吸収される $ \mathbb{Z}^+ $ 上の近接隣接ランダムウォークにおけるエク cursio の最大値 $ M $ の分布を理解すること。
• 特に、Lamperti 型摂動によって表される漸近的零のドリフトが、$ M $ の尾部挙動に与える影響を、単純なランダムウォークと比較して調査すること。
• パrameter $ K $ と $ B $ で定義されるさまざまなドリフト領域において、$ P(M=n, D<\infty) $ の正確な漸近的減衰速度を特徴づけること。

提案手法

• 状態依存の遷移確率 $ p_n = \frac{1}{2} \pm r_n $ を用いてランダムウォークをモデル化し、ここで $ r_n $ は反復対数に基づく緩やかな摂動である。
• 積 $ \rho_1 \cdots \rho_j $ を含む脱出確率の公式を用い、$ \rho_j = q_j / p_j $ と定義することで、$ P(M=n, D<\infty) $ をこれらの比の和および積の形に表現する。
• 積分比較法と反復対数積分の漸近的解析を用いて、部分和 $ \sum_{j=1}^n \rho_1 \cdots \rho_j $ の成長を推定する。
• 特に $ x \log x \cdots (\log_{K-1}x)^B $ を含む和について、積分近似と単調性の議論を用いて漸近的同等性を導出する。
• 既知の再帰性基準および補題 2 と 3 を用いて、$ \rho_1 \cdots \rho_n $ 及びその累積和の挙動を確立する。
• $ K $（対数反復回数）と $ B $（ドリフトパラメータ）に基づくケース解析を通じて、結果を検証し、$ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ と $ p_n = \frac{1}{2} - r_n $ の違いを区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近接隣接ランダムウォークの最大値 $ M $ の漸近的分布は、漸近的零のドリフトがある場合と単純対称ランダムウォークの場合とでどのように異なるか？
• RQ2 ドリフトが $ r_n = \Lambda(K,i,B)/4 $ によって摂動されるとき、$ P(M=n, D<\infty) $ の正確な減衰速度は何か？ そして、$ K $ と $ B $ にどのように依存するか？
• RQ3 $ M $ の尾部が多項式や指数関数的減衰以外の速度、例えば $ (n \log n \cdots \log_{K-1}n)^{-1} $ を示すことは可能か？ どのような条件下で成立するか？
• RQ4 ランダムウォークの再帰的性質（瞬発的、零再帰的、正再帰的）は、$ M $ の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 対数反復を含む $ K $ と $ B $ のさまざまな領域における最大値分布を統一的に記述するフレームワークは存在するか？

主な発見

• $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ の場合、$ B=1 $ では尾部 $ P(M=n, D<\infty) \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_K n)^2} $ となり、二重対数的減衰が生じる。
• $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ で $ B>1 $ の場合、減衰は $ \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_{K-1}n)^B} $ となり、$ B>1 $ のとき多項式より遅い減衰を示す。
• $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ で $ B<1 $ の場合、減衰は $ \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_{K-1}n)^{2-B}} $ となり、指数が $ B $ に対して連続的に依存する。
• $ p_n = \frac{1}{2} - r_n $ の場合、$ K=1 $ かつ $ B>-1 $ のとき、減衰速度は $ \sim \frac{c}{n^{B+2}} $ となり、指数 $ B+2 $ のべき乗的減衰を示す。
• $ K=1 $ かつ $ B=-1 $ のとき、減衰は $ \sim \frac{c}{n (\log n)^2} $ となり、任意のべき乗より遅いが $ n^{-1} $ より速い。
• $ K=1 $ かつ $ B<-1 $ のとき、尾部は $ \sim c n^B $ として減衰し、負の指数を有するべき乗的減衰となり、重尾挙動を示す。