[論文レビュー] On a minimax theorem: an improvement, a new proof and an overview of its applications

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Optimization and Variational Analysis被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、第二の変数がハウスドルフ位相線型空間の凸集合に属する関数に対するミニマックス定理の新しい帰納的証明を提示する。先行研究を改善するため、Mosconiの中間結果に依存せずに定理1.Aをより広範な設定に拡張し、ミニマックス等式が成り立つ条件、あるいは複数のグローバル最小値が存在する条件を確立する。応用は非線形偏微分方程式および変分解析に及ぶ。

ABSTRACT

Theorem 1 of [14], a minimax result for functions $f:X imes Y o {\bf R}$, where $Y$ is a real interval, was partially extended to the case where $Y$ is a convex set in a Hausdorff topological vector space ([15], Theorem 3.2). In doing that, a key tool was a partial extension of the same result to the case where $Y$ is a convex set in ${\bf R}^n$ ([7], Theorem 4.2). In the present paper, we first obtain a full extension of the result in [14] by means of a new proof fully based on the use of the result itself via an inductive argument. Then, we present an overview of the various and numerous applications of these results.

研究の動機と目的

• 実区間からハウスドルフ位相線型空間の凸集合へ定理1.Aを拡張すること。
• 定理1.A自体に基づく帰納的議論を用いて、拡張されたミニマックス結果の新しい証明を提供すること。
• Mosconiの定理に依存せずに、第二の変数に関して凹関数である関数のミニマックス結果を確立すること。
• 非線形解析、偏微分方程式、最適化における応用の包括的概観を提示すること。
• ミニマックス枠組みを用いて、楕円型境界値問題における複数の弱解の存在を示すこと。

提案手法

• 単体 $ S_n $ の次元に関する帰納的証明技法の使用、初期状態 $ n=1 $ から出発する。
• 高次元単体を低次元単体と関連付けるための連続なアフィン写像 $ \psi: S_k \times [0,1] \to S_{k+1} $ の構成。
• 性質を次元間で移行するために、上に挙げた関数 $ \tilde{f}(x, \lambda, \mu) = f(x, \psi(\lambda, \mu)) $ の定義。
• quasi-凹性および下半連続性を活用して、$ \tilde{f} $ に帰納的仮定を適用する。
• 下界コンパクト性および下半連続性を用いて、下界および上界の達成を保証する。
• 関数の最小化および摂動議論を用いて、特に $ H^1_0(\Omega) $ におけるソボレフ空間上の変分問題に主なミニマックス結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定理1.Aは、実区間からハウスドルフ位相線型空間の凸集合へ完全に拡張可能か？
• RQ2 関数 $ f(x, \cdot) $ に対する連続性条件を上半連続性に緩和した場合、ミニマックス等式は成り立つか？
• RQ3 Mosconiの定理に依存せずに、$ \mathbb{R}^n $ におけるミニマックス結果を証明可能か？
• RQ4 ミニマックス結果は、非線形楕円型偏微分方程式における複数の解の存在にどのような意味を持つか？
• RQ5 $ H^1_0(\Omega) $ において、関数の汎関数が少なくとも2つのグローバル最小値を達成する条件は何か？

主な発見

• 本稿では、定理1.Aがハウスドルフ位相線型空間の凸集合へ完全に拡張され、$ \sup_Y \inf_X f = \inf_X \sup_Y f $ が成り立つか、または $ f(\cdot, \hat{y}) $ が少なくとも2つのグローバル最小値を持つことが証明された。
• Mosconiの結果のような外部結果を一切用いずに、定理1.Aにのみ依存する新しい帰納的証明が提供された。
• 定理1.2は、定理1.Cを一般化し、上半連続性を要件としないで、$ f(x, \cdot) $ が凹関数である場合のミニマックス結果を証明した。
• ミニマックス枠組みは、キルヒホフ型偏微分方程式のクラスに応用され、少なくとも3つの弱解（そのうち2つはグローバル最小値）の存在が示された。
• $ f \in \mathcal{A} $ で、ある正の測度の集合上で $ \sup_{\xi} \int_0^\xi f(x,t)dt > 0 $ であり、かつ亜二次成長を満たす場合、問題 $ -\Delta u = \lambda f(x,u) + \varphi $ は大きな $ \lambda $ およびある $ \varphi \in C $ に対して少なくとも3つの弱解を持つ。
• 結果は $ H^{-1}(\Omega) $-値摂動へ拡張され、成長が制御された広範な非線形性のクラスに対して複数の解の存在が示された。