[論文レビュー] On a Multilocus Wright-Fisher Model with Mutation and a Svirezhev-Shahshahani Gradient-like Selection Dynamics

Erik Aurell, Magnus Ekeberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、突然変異および対立遺伝子間選択を伴う多遺伝子ワイド・フィッシャー拡散モデルを、シャフシャーニ・勾配に類似した駆動構造を持つ確率微分方程式（SDE）系として定式化する。マルコフ連鎖から制限拡散への弱収束を確立し、キングマンのカードの家突然変異のもとで明示的な定常密度を導出することで、遺伝的ネットワークに対応するワイド・フィッシャーモデルの構築が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we introduce a multilocus diffusion model of a population of $N$ haploid, asexually reproducing individuals. The model includes parent-dependent mutation and interlocus selection, the latter limited to pairwise relationships but among a large number of simultaneous loci. The diffusion is expressed as a system of stochastic differential equations (SDEs) that are coupled in the drift functions through a Shahshahani gradient-like structure for interlocus selection. The system of SDEs is derived from a sequence of Markov chains by weak convergence. We find the explicit stationary (invariant) density by solving the corresponding stationary Fokker-Planck equation under parent-independent mutation, i.e., Kingman's house-of-cards mutation. The density formula enables us to readily construct families of Wright-Fisher models corresponding to networks of loci.

研究の動機と目的

• 無性・単倍体集団の多遺伝子拡散モデルを、遺伝子間のペアワイズ選択および親独立突然変異を含む形で開発すること。
• マルコフ連鎖の系列が、シャフシャーニ勾配に類似した駆動構造を持つ制限SDE系に弱収束することを確立すること。
• キングマンのカードの家突然変異モデルのもとで、定常Fokker-Planck方程式を明示的に解くこと。
• 遺伝的相互作用ネットワークに対応するワイド・フィッシャーモデルを構築するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 適切な適応度ポテンシャルのシャフシャーニ勾配として構造化された駆動関数を有する、多遺伝子アレルル頻度のSDE系を導出する。
• 文献[40]および[38]の弱収束技術を適用し、マルコフ連鎖が拡散極限に収束することを示す。
• ギルサノフの定理および駆動の変更技術を用いて、マーチングレ問題の解の一意性を証明する。
• キングマンの突然変異のもとで定常Fokker-Planck方程式を明示的に解き、閉形式の不変密度を導出する。
• 遺伝子ごとの多項分布抽出における条件付き独立性を用いて、駆動および拡散成分を分析する。
• 集団サイズ $N \to \infty$ の極限において、モーメントの上限と消える四次モーメントの増分を用いて収束を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遺伝子間のペアワイズ相互作用を伴う多遺伝子ワイド・フィッシャー拡散モデルを、構造化された駆動を持つ拡散過程としてどのように定式化できるか。
• RQ2 マルコフ連鎖の系列が、提示されたSDE系に弱収束するための条件は何か。
• RQ3 親独立突然変異のもとで、このようなモデルの定常分布を明示的に導出できるか。
• RQ4 駆動におけるシャフシャーニ勾配に類似した構造は、多遺伝子系における適応度および選択とどのように関係するか。
• RQ5 不変密度は、遺伝子間相互作用を持つ遺伝的ネットワークのモデル構築において果たす役割は何か。

主な発見

• キングマンのカードの家突然変異のもとで、定常Fokker-Planck方程式が明示的に解かれ、閉形式の不変密度が得られた。
• ギルサノフの定理および駆動の変更技術を用いて、制限拡散過程が一意に特徴付けられた。
• 駆動関数は、適応度ポテンシャルのシャフシャーニ勾配に類似した構造を示し、遺伝子間選択の明示的モデル化を可能にした。
• 条件付き独立性および駆動・拡散係数のモーメント条件のもとで、マルコフ連鎖系列の弱収束が確立された。
• 集団サイズ $N \to \infty$ の極限において、四次モーメントの増分が消えることから、極限でジャンプが生じないことが確認された。
• 不変密度を用いることで、相互作用する遺伝子座のネットワークに対応するワイド・フィッシャーモデルを体系的に構築できるようになった。