[論文レビュー] On a new class of 2-orthogonal polynomials, II_The integral representations

Khalfa Douak, P. Maroni|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2022

Mathematical functions and polynomials被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの線形汎関数を含む行列微分方程式を解くことにより、2-正交多項式の新しいクラスの積分表現を確立する。実数直線または正の実数直線上に定義された重み関数を導出し、合流超幾何関数やラゲル関数などの特殊関数を用いて表現する。境界条件を満たすために必要に応じてデルタ関数を追加することで、汎関数の明示的測度による特徴付けを完成させる。

ABSTRACT

A new class of 2-orthogonal polynomials satisfying orthogonality conditions with respect to a pair of linear functionals $(u_0,u_1)$ was presented in Douak K & Maroni P [On a new class of 2-orthogonal polynomials, I: the recurrence relations and some properties. Integral Transforms Spec Funct. 2021;32(2):134-153]. Six interesting special cases were pointed out there. For each case, we precisely deal with the integral representation problem for the functionals associated to these polynomials. The focus is on the matrix differential equation $\big({\bfΦU}\big)'+{\bfΨU}=0$, with ${\bf U}={^t}(u_0 , u_1)$ and ${\bfΦ}$, ${\bfΨ}$ are $2 imes2$ polynomial matrices, from which we establish the differential equations satisfied by the two functionals. Based on this, depending on the case, we show that $u_0$ and $u_1$ are represented via weight functions supported on the real line or positive real line and defined in terms of various special functions. In order for certain integral representations to exist, addition of Dirac mass is necessary.

研究の動機と目的

• 2-正交多項式に関連する線形汎関数 $u_0$ と $u_1$ の積分表現を特定すること。
• 2×2 の多項式行列 ${\bf \Phi}, {\bf \Psi}$ とベクトル ${\bf U} = (u_0, u_1)^t$ に対して、行列微分方程式 $({\bf \Phi U})' + {\bf \Psi U} = 0$ を解くこと。
• 実数直線または正の実数直線上に台を持つ重み関数 $w_0$ と $w_1$ を特定し、直交条件を満たすこと。
• 微分系の境界条件を満たすために必要に応じてデルタ関数を追加すること。
• 正規化および境界条件の制約を用いて解を検証し、多項式の再帰構造と整合性を保証すること。

提案手法

• 行列微分方程式 $({\bf \Phi U})' + {\bf \Psi U} = 0$ を解き、$u_0$ と $u_1$ が満たす微分系を導出すること。
• 重み関数 $w_0$ と $w_1$ に対して2階線形微分方程式に還元し、たとえば $w_0'' - 2s w_0' + w_0 = 0$ または $x w_0' + (x - \alpha) w_0 = 0$ の形を得ること。
• パラメータの特定の制約下で、合流超幾何関数やラゲル重み関数などの特殊関数を微分方程式の解として用いること。
• 双対ブラケットから得られる境界条件、たとえば $[x w_0 f]_{\mathscr{C}} = 0$ および $[(w_1 - \nu w_0) f]_{\mathscr{C}} = 0$ を用いて解を制約すること。
• 重み関数が非有界領域で境界条件を満たさない場合、$x=0$ にデルタ関数を追加すること。
• ガンマ関数および超幾何恒等式を用いて正規化を行い、双対列および再帰係数と整合性を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-正交多項式に関連する線形汎関数 $u_0$ と $u_1$ は、実数直線または正の実数直線上の重み関数に関する積分として表現可能か？
• RQ2 重み関数 $w_0$ と $w_1$ が満たす微分方程式は何か？ また、パラメータ $r$, $s$, $\alpha_1$, $\beta_0$ に依存する解の性質は？
• RQ3 汎関数の境界条件が成立する条件は何か？ また、有効な積分表現を得るためにデルタ関数の追加が必要となる状況は？
• RQ4 合流超幾何関数およびラゲル関数を含む解は、微分系からどのように導かれるか？
• RQ5 導出された重み関数を用いて、正規化定数および双対列の条件を一貫して満たすことができるか？

主な発見

• Case $2 + p + q = 0$ の場合、重み関数は $x \geq 0$ に対して $w_0(x) = c e^{\delta_1 x}$、$x \leq 0$ に対して $w_0(x) = c e^{\delta_0 x}$ であり、$c = -1/(2r)$、$w_1(x)$ は指数関数的および多項式的項を用いた区分的関数として定義される。
• Subcase VI.2 で $\eta = 0$, $\delta_1 = -1$, $\beta_0 = \alpha + 1$, $\nu = \delta_0^{-1}$ のとき、重み $w_0(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} x^\alpha e^{-x}$ は古典的ラゲル重み関数に一致する。
• Subcase VI.2 における重み $w_1(x)$ は $w_1(x) = \nu w_0(x) - \frac{\nu^2 e^{\nu x}}{(\nu+1)^{\alpha+1}} \frac{\gamma(\alpha+1, (\nu+1)x)}{\Gamma(\alpha+1)}$ で与えられ、$\alpha \geq 0$ および $-1 < \nu < 0$ の範囲で有効で、下側不完全ガンマ関数を含む。
• パラメータ制約のもとで境界条件 $[x w_0 f]_{\mathscr{C}} = 0$ および $[(w_1 - \nu w_0) f]_{\mathscr{C}} = 0$ が満たされ、双対ペアリングと整合的であることが保証される。
• 正規化定数は $\lambda_0 = -k / (\beta_0 \Gamma(-p))$ および $\lambda_1 = \delta_1 k / (2r(1+p)\Gamma(-p))$ として明示的に計算され、$k$ は超幾何関数 ${}_2F_1$ を含む。
• Case $p = q = -1$ の解では、$\mathbb{R}$ 上で $w_0(x) = c_1 e^{\delta_1 x} + c_2 e^{\delta_0 x}$ となり、$c_1, c_2$ は任意の定数であり、$w_1$ は $\eta w_1 = -x w_0' + \delta_0(x - \beta_0 - \delta_1) w_0$ を用いて定まる。