[論文レビュー] On a new formula relating localisation operators to time operators

Serge Richard, Rafael Tiedra de Aldecoa|ArXiv.org|Aug 19, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自己共役ハミルトニアン $ H $ に対して、可換な自己共役作用素の族 $ \tilde{\text{F}} $ に基づく抽象的な局在化作用素を用いて、時間作用素 $ T_f $ を構成する新しい公式を導入する。時間作用素は $ f(\tilde{\text{F}}/r) $ の時間発展から得られ、主な結果として $ T_f $ が $ H $ のスペクトル表現において $ i\frac{d}{d\tilde{\text{F}}} $ として作用することを示しており、$ i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ の交換子を含む明示的な定常公式が得られる。この理論は、擬微分作用素、ヤコビ作用素、ディラック作用素、および直接積分作用素を含む広範な作用素のクラスに適用可能である。

ABSTRACT

We consider in a Hilbert space a self-adjoint operator H and a family Phi=(Phi_1,...,Phi_d) of mutually commuting self-adjoint operators. Under some regularity properties of H with respect to Phi, we propose two new formulae for a time operator for H and prove their equality. One of the expressions is based on the time evolution of an abstract localisation operator defined in terms of Phi while the other one corresponds to a stationary formula. Under the same assumptions, we also conduct the spectral analysis of H by using the method of the conjugate operator. Among other examples, our theory applies to Friedrichs Hamiltonians, Stark Hamiltonians, some Jacobi operators, the Dirac operator, convolution operators on locally compact groups, pseudodifferential operators, adjacency operators on graphs and direct integral operators.

研究の動機と目的

• 与えられた自己共役ハミルトニアン $ H $ に対して、事前に $ T $ を仮定せずに、普遍的な手続きにより時間作用素 $ T $ を構成すること。
• 抽象的局在化作用素の時間発展と $ H $ のスペクトル微分の間の厳密な関係を確立し、[37] の擬微分作用素に関する公式を一般化すること。
• 時間作用素 $ T_f $ の定常公式を $ i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ の交換子を用いて提示し、共役作用素法によるスペクトル解析を可能にする。
• フレドリクス作用素やスタルク作用素、ディラック作用素、群上の畳み込み作用素を含む多様な量子系における時間作用素理論を統一的かつ拡張的に展開すること。
• 時間作用素 $ T_f $ の2つの表現の同値性を証明する：1つは $ f(\tilde{\text{F}}/r) $ の時間発展に基づく動的表現であり、もう1つは $ R_f' $ と $ H' $ を含む定常表現である。

提案手法

• 2つの主要な仮定を導入する：(1) $ H $ が $ \tilde{\text{F}} $ に関して $ C^3 $-滑らかであることにより、共役リゾルベントの強い微分可能性が保証される。(2) 任意の $ x \in \mathbb{R}^d $ に対して、共役作用素 $ e^{-ix\tilde{\text{F}}}He^{ix\tilde{\text{F}}} $ がすべて可換であること。
• 時間平均化交換子の極限として $ T_f $ の動的公式を導出する：$ \lim_{r\to\infty} \frac{1}{2}\int_0^\infty dt \left\langle \varphi, [e^{-itH}f(\tilde{\text{F}}/r)e^{itH} - e^{itH}f(\tilde{\text{F}}/r)e^{-itH}] \varphi \right\rangle $。
• 定常公式を確立する：$ T_f = -\frac{1}{2}(\tilde{\text{F}} \cdot R_f'(H') + R_f'(H') \cdot \tilde{\text{F}}) $、ここで $ H'_j = i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ であり、$ R_f' $ は $ f $ のフーリエ変換から得られる明示的な関数である。
• 共役作用素法を用いて $ H $ のスペクトル的性質を分析し、特にスペクトルの正則性および特異連続スペクトルの存在を検討する。
• スペクトル定理を用いて、$ T_f $ が $ H $ のスペクトル表現において $ i\frac{d}{d\lambda} $ として作用することを示し、これが時間作用素としての役割を果たすことを確認する。
• 複数の具体例を用いて理論を検証する：フレドリクス作用素とスタルク作用素、ヤコビ作用素、ディラック作用素、局所コンパクト群上の畳み込み作用素、擬微分作用素、グラフ上の隣接作用素、および直接積分作用素。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた自己共役ハミルトニアン $ H $ と可換な自己共役作用素の族 $ \tilde{\text{F}} $ から、事前に $ T $ を仮定せずに、時間作用素 $ T $ を体系的に構成できるか？
• RQ2 局在化作用素 $ f(\tilde{\text{F}}/r) $ の時間発展に基づく時間作用素 $ T $ の動的公式は存在するか？ そして $ r \to \infty $ の極限で適切に定義された作用素が得られるか？
• RQ3 交換子構造 $ i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ から時間作用素 $ T $ の定常公式を導出可能か？ また、これは動的表現と同値であるか？
• RQ4 $ H $ と $ \tilde{\text{F}} $ の滑らかさおよび可換性に関するどのような条件下で、時間作用素 $ T_f $ が $ H $ のスペクトル表現において $ i\frac{d}{d\lambda} $ として作用するか？
• RQ5 一般枠組みは、擬微分作用素、ディラック作用素、直接積分作用素を含む広範な量子系に適用可能か？ そしてそのスペクトル的帰結は何か？

主な発見

• 時間作用素 $ T_f $ は、$ e^{-itH}f(\tilde{\text{F}}/r)e^{itH} $ を含む時間平均化交換子の極限として構成され、$ \varphi $ が適切な稠密な定義域に属するとき、この極限は $ \langle \varphi, T_f \varphi \rangle $ に一致する。
• 定常公式 $ T_f = -\frac{1}{2}(\tilde{\text{F}} \cdot R_f'(H') + R_f'(H') \cdot \tilde{\text{F}}) $ が厳密に導出され、ここで $ H'_j = i[H, \tilde{\text{F}}_j] $ であり、$ R_f' $ は $ f $ のフーリエ変換に依存する明示的な関数である。
• $ T_f $ は $ H $ のスペクトル表現において $ i\frac{d}{d\lambda} $ として作用し、これは $ T_f $ が正しく時間作用素として機能し、弱い意味で正準交換関係 $ [T_f, H] = i $ を満たすことを確認する。
• 提示された仮定の下で、$ T_f $ の2つの表現—1つは局在化作用素の時間発展に基づく動的表現、もう1つは $ H' $ を通じる定常表現—が同値であることが証明された。
• 理論は、フレドリクス作用素とスタルク作用素、ヤコビ作用素、ディラック作用素、群上の畳み込み作用素、擬微分作用素、グラフ上の隣接作用素、および直接積分作用素を含む広範な作用素クラスに適用可能である。
• ディリクレラプラシアン $ -\Delta_D $ を持つ波導モデルに対して、時間作用素は明示的に $ T_f = \frac{1}{4} \otimes (QP^{-1} + P^{-1}Q) $ として計算され、$ -\Delta_D $ のスペクトル表現において $ i\frac{d}{d\lambda} $ として作用する。ここで $ \kappa(H) = \sigma(-\Delta_D^\Sigma) $ である。