[論文レビュー] On a nonlinear eigenvalue problem in Sobolev spaces with variable exponent

Teodora Liliana Dinu|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、可変指数のソボレフ空間における $p(x)$-ラプラシアン作用素を含む非線形固有値問題に対して、非自明で非負の弱解の存在を確立する。マウンテンパス定理を用い、可変指数のルベーグ空間およびソボレフ空間におけるコンパクト性の議論によりパライス・スメール条件を検証することで、非線形項の成長および強凸性条件を満たす限り、$\lambda < \lambda^*$ の下で解が存在することを証明する。

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear Dirichlet problems involving the $p(x)$--Laplace operator. Our framework is based on the theory of Sobolev spaces with variable exponent and we establish the existence of a weak solution in such a space. The proof relies on the Mountain Pass Theorem.

研究の動機と目的

• 可変指数のソボレフ空間における $p(x)$-ラプラシアン作用素を含む非線形ディリクレ問題に対する弱解の存在を確立すること。
• 非一様成長を有するより一般的な $p(x)$-ラプラシアン枠組みへ、古典的な $p$-ラプラシアンに関する結果を拡張すること。
• 可変指数空間における関連エネルギー汎関数に対して、パライス・スメール条件を検証し、臨界点の存在を保証すること。
• 非線形項の適切な構造的仮定のもとで、解が非負であることを示すこと。
• ソース項の小さな $L^\infty$-摂動に対して、存在結果のロバストネスを示すこと。

提案手法

• 可変指数 $p(x) \in C_\theta(\overline{\Omega})$ を持つ一般化されたルベーグ＝ソボレフ空間 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ において問題を定式化する。
• エネルギー汎関数 $J(u) = \int_\Omega \frac{1}{p(x)}(|\nabla u|^{p(x)} - \lambda |u|^{p(x)})\,dx - \int_\Omega \frac{1}{q}|u|^q\,dx$ を定義する。これは $C^1$ かつ下に有界である。
• 幾何的条件の検証によりマウンテンパス定理を適用する：$J(0) = 0$、$\|u\| \to \infty$ のとき $J(u) \to \infty$、および $J$ は 0 で局所的最小値をとる。
• 任意の $(PS)$ 条件を満たす列が有界であり、$W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ 内で強収束する部分列を有することを示すことにより、パライス・スメール条件を証明する。
• イェゴロフの定理および測度が小さい集合上で一様収束することを用いて、$h(x,u_n) = |u_n|^{q-2}u_n$ の $L^{Np(x)/(Np(x)-N+p(x))}(\Omega)$ における収束を制御する。
• 可変指数空間における連続的埋め込みおよびノルム推定により、$h(x,u_n)$ の $W^{-1,p'(x)}(\Omega)$ における相対コンパクト性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変指数のソボレフ空間 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$ における $p(x)$-ラプラシアン固有値問題 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u$ に対して弱解が存在するか？
• RQ2 マウンテンパス定理が関連エネルギー汎関数の非自明な臨界点を保証するための $p(x)$、$\lambda$、$q$ の条件は何か？
• RQ3 非線形項が $L^\infty$-有界な小さな摂動項 $a(x)$ を持つ摂動問題へ、存在結果を拡張できるか？
• RQ4 与えられた構造的仮定のもとで、弱解が非負であることが保証されるか？
• RQ5 可変指数枠組みは、臨界点理論に必要なコンパクト性および強凸性の性質にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 非自明な弱解 $u \in W_0^{1,p(x)}(\Omega) \setminus \{0\}$ が、$\lambda < \lambda^*$ の下で問題 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u$ に対して存在する。ここで $\lambda^*$ はレイリー商の下界として定義される。
• 方程式に $u^{-}$ を代入することで示されるように、$\lambda < \lambda^*$ の厳密不等式により $\Omega$ ほぼ everywhere で $u^{-} = 0$ が得られ、解は非負である。
• $N \geq 3$ の場合、$p^+ < N$ および $p^- < q < Np^+/(N-p^+)$ を満たす仮定の下で、エネルギー汎関数 $J$ に対してパライス・スメール条件が成り立つ。$N=1,2$ の場合、$p^- < q < \infty$ が条件となる。
• 非線形項が $|f(x,u)| \leq C(|u| + |u|^{q-1})$、$f(x,u)/u \to 0$（$u \to 0$ のとき）、および十分大きな $u$ に対して $\mu F(x,u) \leq u f(x,u)$（ある $\mu > 2$ を満たす）を満たす一般の $f(x,u)$ に置き換えられても、存在結果は成立する。
• ノルム $\|a\|_{L^\infty} < \delta$ を満たす小さな $L^\infty$-摂動 $a(x)$ を持つ摂動問題 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u + a(x)$ に対しても、少なくとも一つの弱解が存在する。
• $a \geq 0$ のとき、解は非負のままである。これは $u^{-}$ で方程式をテストし、$a$ の符号条件を用いることで確認できる。