[論文レビュー] On a Poisson space of bilinear forms with a Poisson Lie action

Leonid Chekhov, Marta Mazzocco|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$GL_N \times \mathcal{A}$ 上のすべての二次的ポアソン構造を分類し、ここで $\mathcal{A}$ は $\mathbb{C}^N$ 上の双線形形式の空間であり、自然な $GL_N$-作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}B^T$ がポアソン作用であると仮定する。3つのこのような構造——互いに双対である2つと、1つの積構造——を特定し、双対構造のみがブロック上三角行列へのディラック還元を許容することを示し、$GL_N \times GL_N \times \mathcal{A}$ における作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}C^T$ を用いてポアソン対称空間への一般化を行う。主な貢献は、このような作用における整合性を持つポアソン構造の体系的分類であり、ポアソン群体および量子代数への応用を示唆する。

ABSTRACT

We consider the space of bilinear forms on a complex N-dimensional vector space endowed with the quadratic Poisson bracket studied in our previous paper arXiv:1012.5251. We classify all possible quadratic brackets on the set of pairs of matrices A and B with the property that the natural action of B on the defining matrix A of a bilinear form is a Poisson action of a Poisson-Lie group, thus endowing this space of bilinear forms with the structure of Poisson homogeneous space. Beside the product Poisson structure we find two more (dual to each other) structures for which (in contrast to the product Poisson structure) we can implement the reduction to the space of bilinear forms with block upper triangular defining matrices by Dirac procedure. We consider the generalisation of the above construction to triples and show that the space of bilinear forms then acquires the structure of Poisson symmetric space. We study also the generalisation to chains of transformations and to the quantum and quantum affine algebras and the relation between the construction of Poisson symmetric spaces and that of the Poisson groupoid.

研究の動機と目的

• $GL_N \times \mathcal{A}$ 上のすべての二次的ポアソン括弧を分類し、$GL_N$-作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}B^T$ がポアソン作用であるようなものとする。
• これらの構造の中で、ブロック上三角行列の部分空間へのディラック還元を許容するものはどれかを特定する。
• $GL_N \times GL_N \times \mathcal{A}$ における三重 $(B, C, \mathbb{A})$ の構造と作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}C^T$ への一般化を行い、$\mathcal{A}$ がポアソン対称空間としての構造をもつことを示す。
• 特に $r$-行列形式および $GL_N$-ポアソン-リー群構造の文脈において、ポアソン群体、量子代数、量子アフィン代数との関係を検討する。

提案手法

• 標準的な $GL_N$ 上のリーポアソン括弧を、古典的三角関数的 $r$-行列 $r_{12} = 2\sum_{i>j} E_{ij} \otimes E_{ji} + \sum_i E_{ii} \otimes E_{ii}$ を用いて仮定する。
• 必要なクロス括弧 $\{B \otimes \mathbb{A}\}$ を $B Q_{12} \mathbb{A} + B \mathbb{A} Q_{12}^{t_2}$ として導出し、$Q_{12}$ が3つの特定の選択肢 $0$, $-r_{12}^{t_2}$, または $r_{12}^{t_1}$ のいずれかに制限されることを示す。
• 2つの非積構造（$Q_{12} = \pm r_{12}^{t_2}$）が互いに双対であり、ブロック上三角行列部分空間 $\mathcal{A}_{n,m}$ へのディラック還元を許容することを証明する。
• $r$-行列形式を用いて、$\mathcal{A}$ 上のポアソン括弧を $\{\mathbb{A}_1, \mathbb{A}_2\} = r_{12}(\mathbb{A}_1 \otimes \mathbb{A}_2) - (\mathbb{A}_1 \otimes \mathbb{A}_2)r_{12} + \mathbb{A}_1 r_{12}^{t_1} \mathbb{A}_2 - \mathbb{A}_2 r_{12}^{t_1} \mathbb{A}_1$ として表現し、古典的ヤン・バクスター方程式によりジャコビ恒等式が保証されることを示す。
• ディラック手続きを用いて全空間をブロック上三角行列 $\mathbb{A}$ を持つ部分空間に還元し、ポアソン構造が保存されるのは双対構造に限ることを示す。
• 変換の鎖への一般化を行い、特にシンプレクティック群体の構成およびボンダルのシンプレクティック形式を含む文脈において、ポアソン群体および量子代数との関係を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $GL_N \times \mathcal{A}$ 上のポアソン構造が、$GL_N$-作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}B^T$ をポアソン作用にさせるか？
• RQ2 ブロック上三角行列の部分空間 $\mathbb{A}$ へのディラック還元は可能か？ その場合、どのポアソン構造で可能か？
• RQ3 クロス括弧 $\{B \otimes \mathbb{A}\}$ の3つの可能な選択肢 $Q_{12} = 0$, $-r_{12}^{t_2}$, または $r_{12}^{t_1}$ はどのように関係し合うか？ また、どれが一貫した還元を許容するか？
• RQ4 $GL_N \times GL_N \times \mathcal{A}$ における作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}C^T$ への一般化はどのように行われるか？ そしてこのとき $\mathcal{A}$ はポアソン対称空間とみなせるか？
• RQ5 この枠組みは、ポアソン群体、シンプレクティック群体、量子代数とどのように関係するか？ 特にボンダルのシンプレクティック構造の文脈において。

主な発見

• $GL_N \times \mathcal{A}$ 上で、$GL_N$-作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}B^T$ がポアソン作用であるようなポアソン構造は、ちょうど3つに分類され、それぞれ $Q_{12} = 0$, $-r_{12}^{t_2}$, $r_{12}^{t_1}$ に対応する。
• 積構造（$Q_{12} = 0$）はブロック上三角行列部分空間 $\mathcal{A}_{n,m}$ へのディラック還元を許容しないが、2つの双対構造（$Q_{12} = \pm r_{12}^{t_2}$）はその還元を許容する。
• 2つの双対構造は標準的な双対変換によって関係し合い、ブロック上三角行列の制約面におけるディラック手続きにおいてもポアソン構造を保存する。
• $GL_N \times GL_N \times \mathcal{A}$ における作用 $\mathbb{A} \mapsto B\mathbb{A}C^T$ への一般化により、$\mathcal{A}$ はポアソン対称空間としての構造を有する。
• この構成は古典的 $r$-行列形式と整合的であり、古典的ヤン・バクスター方程式を満たすため、ポアソン括弧のジャコビ恒等式が保証される。
• 論文は、$({\mathbb{F}}, B)$ 上のシンプレクティック構造が、上三角行列の場合のボンダルのシンプレクティック形式を一般化するものであると予想しているが、シンプレクティック群体の手法における変数分離のため、力学は自明になる。