[論文レビュー] On a Poisson structure on Bott-Samelson varieties: computations in coordinates

Balázs Elek, Jiang-Hua Lu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、複素単純リー群 $G$ のボット＝サメルソン多様体 $Z_{\bf u}$ におけるポアソン構造 $\pi_n$ を、すべての $2^n$ 個のアフィン座標近傍で明示的に計算し、根系列とリー代数の構造定数を用いて表現している。主な結果は、$\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ に誘導されるポアソン構造が、任意の体 $\bf k$ に対して有効である $\mathbb{Z}$ 上のポアソン＝オア拡張であることであり、ボット＝サメルソン座標における拡張ブラハット胞への標準ポアソン構造の明示的公式が得られる。

ABSTRACT

For a connected complex semi-simple Lie group $G$, we consider the Poisson structure $\pi_n$ on an $n$-dimensional Bott-Samelson variety $Z_{\bf u}$ of $G$ defined by a standard multiplicative Poisson structure $\pi_{ m st}$ on $G$, where ${\bf u}$ is any sequence of length $n$ of simple reflections in the Weyl group of $G$. We explicitly express $\pi_n$ on each of the $2^n$ affine coordinate charts, one for every subexpression of ${\bf u}$, in terms of the root strings and the structure constants of the Lie algebra of $G$. We show that the restriction of $\pi_n$ to each affine coordinate chart gives rise to a Poisson structure on the polynomial algebra ${\mathbb{C}}[z_1, \ldots, z_n]$ which is a Poisson-Ore extension of $\mathbb{C}$ compatible with a rational action by a maximal torus of $G$. For canonically chosen $\pi_{ m st}$, we show that the induced Poisson structure on ${\mathbb{C}}[z_1, \ldots, z_n]$ for every affine coordinate chart is in fact defined over $\mathbb{Z}$, thus giving rise to a Poisson-Ore extension of any field ${\bf k}$ of arbitrary characteristic. The special case of $\pi_n$ on the affine chart corresponding to the full subexpression of ${\bf u}$ yields an explicit formula for the standard Poisson structures on extended Bruhat cells in Bott-Samelson coordinates.

研究の動機と目的

• ボット＝サメルソン多様体 $Z_{\bf u}$ におけるポアソン構造 $\pi_n$ を、${\bf u}$ の部分表現で添え字付けられた座標近傍を用いて明示的に記述すること。
• 各アフィン近傍における $\pi_n$ を、リー群 $G$ の根系列と構造定数を用いて表現すること。
• $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ に誘導されるポアソン構造が、最大トーラス作用と整合するポアソン＝オア拡張であることを示すこと。
• 標準的な $\pi_{\text{mst}}$ の選択に対して、ポアソン構造が $\mathbb{Z}$ 上に定義されることを示し、任意の体 $\bf k$ に拡張できることを示すこと。
• ボット＝サメルソン座標における拡張ブラハット胞への標準ポアソン構造の明示的公式を導出すること、対応する全部分表現近傍の座標で表す。

提案手法

• 単純反射の列 ${\bf u}$ の部分表現を用いて、$Z_{\bf u}$ の $2^n$ 個のアフィン座標近傍をパrameter化すること。
• 各近傍におけるポアソンベクトル場 $\pi_n$ を、リー代数 $\mathfrak{g}$ の根系列と構造定数を用いた双線形形式として表現すること。
• $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ に得られるポアソン構造が、$\mathbb{C}$ 上のポアソン＝オア拡張であり、$G$ の最大トーラスの有理的作用と整合することを示すこと。
• 標準的な乗法的ポアソン構造 $\pi_{\text{mst}}$ のある特定の選択に対して、座標表現における構造定数が整数的であることを示し、ポアソン構造が $\mathbb{Z}$ 上に定義されることを示すこと。
• 全部分表現近傍を用いて、ボット＝サメルソン座標における拡張ブラハット胞への標準ポアソン構造の明示的公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボット＝サメルソン多様体 $Z_{\bf u}$ におけるポアソン構造 $\pi_n$ を、すべての $2^n$ 個のアフィン座標近傍でどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 各近傍における $\pi_n$ の代数的形は、リー代数 $\mathfrak{g}$ の根系列と構造定数を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 $\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ に誘導されるポアソン構造は、有理的最大小トーラス作用を許容するか？また、ポアソン＝オア拡張であるか？
• RQ4 ポアソン構造 $\pi_n$ は $\mathbb{Z}$ 上に定義可能であり、任意の特性を持つ体 $\bf k$ に拡張可能か？
• RQ5 ボット＝サメルソン座標における拡張ブラハット胞への標準ポアソン構造の明示的表現は何か？

主な発見

• 根系列とリー代数の構造定数を用いて、$Z_{\bf u}$ の $2^n$ 個のアフィン座標近傍すべてにおいて、ポアソン構造 $\pi_n$ が明示的に計算されている。
• 各近傍への $\pi_n$ の制限は、$G$ の最大トーラスの有理的作用と整合する $\mathbb{C}$ 上のポアソン＝オア拡張をもたらす。
• 標準的な $\pi_{\text{mst}}$ の選択に対して、$\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$ 上のポアソン構造は $\mathbb{Z}$ 上に定義されており、任意の体 $\bf k$ に拡張可能である。
• 全部分表現近傍の特別な場合により、ボット＝サメルソン座標における拡張ブラハット胞への標準ポアソン構造の明示的公式が得られる。
• 全構成は座標に依存するが、完全に明示的であり、すべての構造定数が $G$ のリー代数から生じている。