[論文レビュー] On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt's conjecture

Dzmitry Badziahin, Andrew Pollington+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、同時ディオファントス近似においてシュミットの予想を解決し、$i+j=1$ を満たす各$(i,j)$に対して、$\mathbf{Bad}(i,j)$ の任意の有限個の共通部分集合が、Hausdorff次元2をもつことを証明している。証明は縦方向の直線に沿った共通部分集合の分析に依拠し、悪く近似可能な$x$に対して、これらの集合の$y$-断片が次元1をもつことを確立することで、このような共通部分集合の空でなくかつ次元が最大であることを確認している。

ABSTRACT

For any $i,j \ge 0$ with $i+j =1$, let $\bad(i,j)$ denote the set of points $(x,y) \in \R^2$ for which $ \max \{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j} \} > c/q $ for all $ q \in \N $. Here $c = c(x,y)$ is a positive constant. Our main result implies that any finite intersection of such sets has full dimension. This settles a conjecture of Wolfgang M. Schmidt in the theory of simultaneous Diophantine approximation.

研究の動機と目的

• 1980年代に提唱された Wolfgang M. Schmidt の予想を解決すること。この予想は、$\mathbb{R}^2$ 内の$(i,j)$-悪く近似可能な集合の共通部分集合の空でないことを含む。
• このような集合の任意の有限個の共通部分集合がHausdorff次元2をもつことを確立すること。これは、個々の集合の次元が最大であるという既存の結果を拡張する。
• 垂直線$L_\theta$に沿ったこれらの集合の構造を分析し、$\theta \in \mathbf{Bad}(i)$ であるとき、$\mathbf{Bad}(i_t,j_t)$ との共通部分集合が次元1をもつことを証明すること。
• $\mathbf{Bad}(1,0) \cap \mathbf{Bad}(0,1) \cap \mathbf{Bad}(i,j)$ の共通部分集合が次元2をもつことを示し、重要な特殊ケースを確認すること。
• 同時的および双対的定式化における$(i,j)$-悪く近似可能な条件の同値性を明確にすること。

提案手法

• 集合$\mathbf{Bad}(i,j)$ を、すべての$q \in \mathbb{N}$ およびある$c(x,y) > 0$ に対して、$\max\{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j}\} > c(x,y)/q$ を満たす点$(x,y) \in \mathbb{R}^2$ の集合として定義する。
• 垂直線$L_\theta = \{\theta\} \times \mathbb{R}$ に沿った共通部分集合を研究し、2次元問題を$\mathbf{Bad}(i)$ の集合の1次元解析に還元する。
• Borel-Cantelliの補題を用いて、$i < 1$ のとき、$\mathbf{Bad}(i)$ の補集合がLebesgue測度0をもつことを示し、したがって全測度かつ全次元をもつことを示す。
• 定理2を確立：$\theta \in \mathbf{Bad}(i)$ で、$i = \sup\{i_t\}$ かつ $\liminf_{t \to \infty} \min\{i_t, j_t\} > 0$ を満たすとき、共通部分集合$\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap L_\theta$ は次元1をもつ。
• 一般化されたディオファントスの近似定理と線形形式に関する重要な補題を用いて、$\mathbf{Bad}(i,j)$ の同時的および双対的定式化の同値性を証明する。
• 線形形式を含む転送原理を用いた、数の幾何学の変種を適用し、双対的および同時的設定における解を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(i_1,j_1)$ および $(i_2,j_2)$ が $i_1 + j_1 = i_2 + j_2 = 1$ を満たすとき、$\mathbf{Bad}(i_1,j_1)$ と $\mathbf{Bad}(i_2,j_2)$ の共通部分集合は正のHausdorff次元をもつか？
• RQ2 シュミットの予想に従い、すべてのこのようなペアに対して $\mathbf{Bad}(i_1,j_1) \cap \mathbf{Bad}(i_2,j_2)$ が空でないことを確立できるか？
• RQ3 任意の有限$d$ および $i_t + j_t = 1$ を満たすペア$(i_t,j_t)$ に対して、共通部分集合$\bigcap_{t=1}^d \mathbf{Bad}(i_t,j_t)$ のHausdorff次元は何か？
• RQ4 集合$\mathbf{Bad}(i,j)$ は、ディオファントス近似の同時的および双対的定式化において同値か？
• RQ5 無限個の共通部分集合の場合に、条件$\liminf \min\{i_t,j_t\} > 0$ は必要不可欠か？それとも取り除けるか？

主な発見

• 任意の有限個の集合$\mathbf{Bad}(i_t,j_t)$ で、$i_t + j_t = 1$ を満たすものについて、共通部分集合がHausdorff次元2をもつ。これはシュミットの予想を確認する。
• 任意の$\theta \in \mathbf{Bad}(i)$ で、$i = \sup\{i_t\}$ であるとき、共通部分集合$\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap L_\theta$ はHausdorff次元1をもつ。これは直線上で全次元であることを意味する。
• $\mathbf{Bad}(i)$ はすべての$i \in [0,1]$ に対して次元1をもち、$i < 1$ のときには全Lebesgue測度をもつ。
• 同時的および双対的定式化における$\mathbf{Bad}(i,j)$ は同値である。つまり、ある意味で悪く近似可能な点は、もう一方の意味でも悪く近似可能である。
• この結果は、リトルウッド予想が未解決のまま残っていることを示唆している。なぜなら、シュミットの予想に対する反例は、リトルウッド予想の反例を含むだろうからである。
• 垂直線断片と次元推定に依拠する証明技法は、高次元のディオファントス近似における共通部分集合の研究に、強固なフレームワークを提供する。