[論文レビュー] On a problem of Ramachandra and approximation of functions by Dirichlet polynomials with bounded coefficients

Johan Andersson|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、係数が有界なディリクレ多項式による関数の近似に関して、ラマチャンドラが提唱した予想の洗練された版を解決する。準解析的性質とペチェルス再配列定理の道具を用いて、発散基準を明確に示す。L²ノルムの近似誤差の下限が0に近づくのは、∑(log Φ(n))/(n log²n) が発散する場合に限るという鋭い条件が得られ、リーマンゼータ関数理論における普遍性と下界の正確な条件が特定される。

ABSTRACT

We prove effective results on when a function can be approximated by a Dirichlet polynomial with bounded coefficients. Assuming that Φ(n) is an increasing function we prove that the set of polynomials {\sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}: N \geq 2, |a_n| \leq Φ(n)}, is dense in L^2(0,H) if and only if \sum_{n=2}^\infty \frac{\log Φ(n)} {n \log^2 n} = \infty. We also prove variants of this result for generalized Dirichlet polynomials. The main tools are theorems of Paley and Wiener related to quasianalyticity and the Pechersky rearrangement theorem. We use this result to give precise conditions on when a conjecture of Ramachandra is true and when it is false. We prove that whenever Φ(n) is a positive increasing function then \lim_{N o \infty} \min_{|a_n| \leq Φ(n)} \int_0^H \abs{1+\sum_{n=2}^N a_n n^{it-1}}^2 dt =0, if and only if the above sum is divergent. This has applications on lower bounds for moments of the Riemann zeta-functions in short intervals close to Re(s)=1, and to questions of Universality for zeta-functions on and close to their abscissa of convergence.

研究の動機と目的

• 係数が増加関数 Φ(n) で有界なディリクレ多項式による関数近似が成立する正確な条件を特定すること。
• このような近似の L² ノルムが0に近づかないことに関するラマチャンドラの予想の洗練された版を解決すること。
• Re(s) = 1 上でのゼータ関数の普遍性および非普遍性に対する鋭い基準を確立すること。
• リーマンゼータ関数や他の L 関数の短区間におけるモーメントに対する有効な下界を導出すること。

提案手法

• 準解析的性質に関するペーレイ＝ワイナーの定理を応用し、L²(0,H) 内でのディリクレ多項式の線形包の稠密性を特徴付ける。
• ペチェルス再配列定理を用いて、L² ノルムにおける部分和の挙動を制御する。
• 級数 ∑(log Φ(n))/(n log²n) の収束性を、近似性質の臨界閾値として分析する。
• 問題を L²(0,H) 上のヒルベルト空間論に還元し、ディリクレ多項式を関数空間内の要素として扱う。
• 双対性と極値原理を適用し、|aₙ| ≤ Φ(n) を満たす係数集合上での L² ノルムの最小化を図る。
• d(n) などの算術的係数をもつ一般化されたディリクレ多項式や、(n+α)^{it-1} を含むシフトされた多項式に対しても結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの増加関数 Φ(n) に対して、|aₙ| ≤ Φ(n) を満たすディリクレ多項式の集合が L²(0,H) 内で稠密となるか？
• RQ2 N → ∞ のとき、∫₀ᴴ |1 + ∑_{n=2}^N aₙ n^{it-1}|² dt の L² ノルムの下限が0に近づく条件は何か？
• RQ3 リーマンゼータ関数はいつ Re(s) = 1 上で普遍でなくなり、その短区間モーメントに対してどのような下界を確立できるか？
• RQ4 係数が有界なディリクレ多項式の近似性質は、∑(log Φ(n))/(n log²n) の収束性とどのように関係するか？
• RQ5 同様の結果は、ヒルベルト・ゼータ関数やレルヒ・ゼータ関数などの他のゼータ関数に対しても拡張可能か？

主な発見

• |aₙ| ≤ Φ(n) を満たすディリクレ多項式 ∑_{n=2}^N aₙ n^{it-1} の集合は、L²(0,H) 内で稠密である。その必要十分条件は ∑_{n=2}^∞ (log Φ(n))/(n log²n) = ∞ が成り立つことである。
• N → ∞ のとき、∫₀ᴴ |1 + ∑_{n=2}^N aₙ n^{it-1}|² dt の L² ノルムの下限が0に近づくのは、同じ級数が発散する場合に限る。
• リーマンゼータ関数に関しては、∫₂^∞ (1−ω(t))/(t log t) dt < ∞ ならば、σ ≥ ω(T) に対して ∫_T^{T+δ} |ζ(σ+it)| dt ≥ C_δ > 0 が成り立つ。
• 結果はヒルベルト・ゼータ関数に対しても拡張可能である：同じ積分条件のもとで、σ ≥ ω(T) に対して ∫_T^{T+δ} |ζ(σ+it,α)| dt ≥ C_δ > 0 が成り立つ。
• 素数係数をもつディリクレ多項式に関しては、ノルムが0から離れるための臨界条件は ∑_p (log Φ(p))/(p log p) < ∞ となる。
• 本論文では、Re(s) = 1 上でのヒルベルト・ゼータ関数の L¹ ノルムに対する最初の T に依存しない下界を確立し、その直線上での非普遍性を証明した。