[論文レビュー] On a quasi-ordering on Boolean functions

Miguel Couceiro, Maurice Pouzet|ArXiv.org|Jan 10, 2006

Advanced Algebra and Logic参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、変数操作（同一化、置換、加算）に基づく準順序によるブール関数の同値類の集合が、自然数の有限部分集合の包含順序によって整列された集合に埋め込まれることを確立している。また、有限個の関数方程式で定義されるブール関数の等式的クラスが、この準順序集合の初期セグメントと一致することを証明し、高々k個の本質的変数を持つ線形関数を特徴づける明示的な方程式を提示している。

ABSTRACT

It was proved few years ago that classes of Boolean functions definable by means of functional equations \cite{EFHH}, or equivalently, by means of relational constraints \cite{Pi2}, coincide with initial segments of the quasi-ordered set $(Ω, \leq)$ made of the set $Ω$ of Boolean functions, suitably quasi-ordered. The resulting ordered set $(Ω/\equiv, \sqsubseteq)$ embeds into $([ω]^{

研究の動機と目的

• ブール関数の準順序と自然数ωの有限部分集合の包含順序との間の深い構造的関係を確立すること。
• 関数方程式によって定義されるブール関数の等式的クラスが、準順序集合(Ω, ≤)の初期セグメントとして特徴づけられ、有限個の障害によって定義されるクラスと一致することを示すこと。
• 高々k個の本質的変数を持つ線形ブール関数のクラスを明示的な関数方程式によって特徴づけること。
• poset (Ω/≡, ⊑) が ([ω]^{<ω}, ⊆) に埋め込まれると同時に、逆に ([ω]^{<ω}, ⊆) にも埋め込まれることを示し、豊かな組合せ的構造を明らかにすること。
• 本質的変数が有界なブール関数のクラスが、関数方程式によって有限公理化可能であることを示すこと。

提案手法

• g ≤ f が、f から変数の同一化、置換、加算によって得られるとき、ブール関数に於いて g ≤ f と定義する準順序 ≤ を定義する。
• f ≡ g が f ≤ g かつ g ≤ f を満たすとき、Ω 上に同値関係 ≡ を定義し、商poset (Ω/≡, ⊑) を得る。
• 各初期セグメント ↓x が有限であることを証明し、poset を有限なレベル Ω/≡_n に段階的に分解可能であることを示す。
• 初期セグメントと反鎖の双対性を用いる：任意の初期セグメント I は、I = Forbid(A) を満たす唯一の最小反鎖 A に対応する。
• 各有限部分集合 I に対して、変数置換を含む構成から得られる関数 g_I' を対応させる、明示的な順序埋め込み φ: ([ω]^{<ω}, ⊆) → (Ω/≡, ⊑) を構成する。
• 2元体 F_2 上の線形代数を用いて、ベクトルのパリティおよび積の性質に基づき、高々k個の本質的変数を持つ線形関数を特徴づける関数方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 poset (Ω/≡, ⊑) は ([ω]^{<ω}, ⊆) に埋め込まれるか？ 逆に ([ω]^{<ω}, ⊆) は (Ω/≡, ⊑) に埋め込まれるか？
• RQ2 関数方程式によって定義されるブール関数の等式的クラスは、正確に準順序集合 (Ω, ≤) の初期セグメントに一致するか？
• RQ3 高々k個の本質的変数を持つ線形ブール関数のクラスは、1つの関数方程式によって定義可能か？
• RQ4 有限反鎖による障害と、有限公理化可能な等式的クラスとの関係は何か？
• RQ5 poset (Ω/≡, ⊑) の構造は、段階的分解と有限初期セグメントによって完全に特徴づけられるか？

主な発見

• poset (Ω/≡, ⊑) は ([ω]^{<ω}, ⊆) に埋め込まれると同時に、逆に ([ω]^{<ω}, ⊆) にも埋め込まれる。これにより、両構造の双埋め込みが確立された。
• 有限個の障害によって定義される (Ω, ≤) の初期セグメントは、すべて1つの関数方程式によっても定義可能であり、障害ベースと方程式ベースの定義の強い同値性が確認された。
• 高々k個の本質的変数を持つ線形関数のクラスは、変数の和とその積のパリティ条件を含む1つの方程式によって公理化可能である。
• L^k（高々k個の本質的変数を持つ線形関数）を特徴づける方程式は以下の通りである：(f(0) ∧ ⋀_{1≤i≤k+1} f(x_i) → ⋁_{j<l} f(x_j x_l)) ∨ (f(0) ∧ ⋀_{1≤i≤k+1} (f(x_i)+1) → ⋁_{j<l} (f(x_j x_l)+1)) = 1。
• 重要な補題が証明された：F_2 上のn次元空間において、n ≤ k かつ重みが奇数であるk+1個のベクトルが与えられたとき、少なくとも1組のペアが、成分ごとの積の重みが奇数になる。この補題が L^k の方程式の正しさを裏付けている。
• 高々k個の本質的変数を持つブール関数のクラスは有限公理化可能であり、特に線形関数のクラスについても成り立つ。