[論文レビュー] On a Question of Hamkins and Löwe on the modal logic of collapse forcing

Mohammad Golshani, William Mitchell|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ハミンズとローヴァーが提起した質問に応えるものであり、任意の基数を $ω$ に一般化するコラプスの一般化 $g$ に対して $N \equiv N[g]$ となるモデル $N$ のためのモーダル論理を調査する。コアモデル理論とラディン・フォースィングを用いて、ハミンズ＝ローヴァー性質の2つの弱体化版——後続基数においておよび不動点基数より下のクラブ集合において——の等価な一致性結果を確立する。主な貢献は、ウッドイン基数にそれより上にある不動点基数が存在することから、これらの弱体化された性質の整合性が導かれるということであり、これは完全なハミンズ＝ローヴァー性質のための、現在知られている最も良い下界を与える。

ABSTRACT

Hamkins and Löwe asked whether there can be a model $N$ of set theory with the property that $N\equiv N[g]$ whenever $g$ is a generic collapse of a cardinal of $N$ onto $ω$. We give equiconsistency results for two weaker versions of this property. We also include a proof of Woodin's result that the consistency of the full Hamkins-Löwe property follows from that of a Woodin cardinal with an inaccessible above.

研究の動機と目的

• ハミンズ＝ローヴァー性質の2つの弱体化版の整合性強度を調査すること。これは、任意の基数を $ω$ に一般化するコラプス $g$ に対して $N \equiv N[g]$ となるかどうかを問うものである。
• 不動点基数 $\kappa$ より下の後続基数におけるハミンズ＝ローヴァー性質が、大基数仮説の下で整合的であるかどうかを特定すること。
• 不動点基数 $\kappa$ より下のクラブ集合におけるハミンズ＝ローヴァー性質を分析すること、特にスティールのコアモデル $K$ の文脈において。
• これらの弱体化された性質の等価な一致性結果を提供し、完全なハミンズ＝ローヴァー性質の、現在知られている最も良い下界を提示すること。
• コアモデルのフォースィング拡張における超フィルターの定義可能性を検討すること。これは結果の強化に不可欠である。

提案手法

• 著者たちは、ハミンズ＝ローヴァー性質の2つの弱体化版を定義する。1つは不動点基数 $\kappa$ より下の後続基数において、もう1つは $\kappa$ より下の基数のクラブ集合においてである。
• 彼らはスティールのコアモデル $K$ とラディン・フォースィングを用いて、弱体化された性質が成り立つモデルを構成する。その際、可測基数と $\kappa$ に含まれるクラブ集合 $C \subset \kappa$ の存在に依存する。
• この方法では、$C_1^\kappa$ に属する基数 $\lambda$ に対して、$U_\lambda$ から導かれる拡張子を用いて、一様なフィルター族 $F^\lambda_\alpha$ を定義し、$\alpha > 0$ のとき $U_\lambda$-拡張子であることを示す。
• 証明では、$K[C]$ における列 $\langle U_\lambda \mid \lambda \in C_1^\kappa \rangle$ の定義可能性が利用され、フォースィング拡張における必要なフィルターの構成が可能になる。
• 著者たちは、ウッドイン基数にそれより上にある不動点基数が存在することから、完全なハミンズ＝ローヴァー性質を満たす可算かつ整列されたモデルが存在することを示したウッドインの結果を再現する。
• 彼らは、$\operatorname{Col}(\omega, <\kappa)$ を用いた一般化拡張における $M_d$、つまり $d$ の次数をもつ実数を含む最小の整列型 ZFC のモデルの振る舞いを分析し、$e \geq_T d$ のとき $M_d \equiv M_e$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の基数を $\omega$ に一般化するコラプス $g$ に対して $N \equiv N[g]$ となるような $ZFC$ のモデル $N$ が存在するか？
• RQ2 不動点基数 $\kappa$ より下の後続基数におけるハミンズ＝ローヴァー性質の整合性強度は何か？
• RQ3 不動点基数 $\kappa$ より下の基数のクラブ集合におけるハミンズ＝ローヴァー性質の整合性強度は何か？
• RQ4 完全なハミンズ＝ローヴァー性質は、弱被覆補題を満たすコアモデルの存在と整合的であるか？
• RQ5 $\kappa$ よりも大きい範囲で、$K[C]^{\operatorname{Col}(\omega,\lambda)}$ において超フィルター $U_\lambda$ をパラメータなしに定義可能か？

主な発見

• 不動点基数 $\kappa$ より下の後続基数におけるハミンズ＝ローヴァー性質は、ウッドイン基数にそれより上にある不動点基数が存在することと等価な一致性を有する。
• 不動点基数 $\kappa$ より下のクラブ集合におけるハミンズ＝ローヴァー性質は、スティールのコアモデル $K$ の存在を仮定すれば、ウッドイン基数にそれより上にある不動点基数が存在することと等価な一致性を有する。
• ウッドインの結果が再確認された：ウッドイン基数にそれより上にある不動点基数が存在するならば、完全なハミンズ＝ローヴァー性質を満たす可算かつ整列されたモデルが存在する。
• 列 $\langle U_\lambda \mid \lambda \in C_1^\kappa \rangle$ は $K[C]$ において一様に定義可能であり、これにより必要なフィルター $F^\lambda_\alpha$ の構成が可能になる。
• フィルター $F^\lambda_\alpha$ が $\alpha > 0$ のとき $U_\lambda$-拡張子であることが示され、これは弱体化された性質を満たすモデルの構成に不可欠である。
• 本論文では、完全なハミンズ＝ローヴァー性質の整合性が、ウッドイン基数にそれより上にある不動点基数の存在によって下界づけられ、現在の手法ではこれがタイトな下界であることが確立された。