[論文レビュー] On a Ramsey-Tur\'an variant of the Hajnal-Szemer\'edi theorem

Rajko Nenadov, Yanitsa Pehova|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Hajnal-Szemerédiの定理のRamsey-Turán版を確立し、グラフ $G$ が最小次数 $ abla(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ かつ大きな $K_\ell$-自由な誘導部分グラフを含まない（$ alpha_\ell(G) = o(n)$）ならば、$G$ は $K_r$-ファクターを含むことを示している。この結果は $\ell = r-1$ の場合に最適であり、独立数制約の下での三角形ファクターに関する先行研究を一般化する。

ABSTRACT

A seminal result of Hajnal and Szemer\\'{e}di states that if a graph $G$ with $n$ vertices has minimum degree $\\delta(G) \\ge (r-1)n/r$ for some integer $r \\ge 2$, then $G$ contains a $K_r$-factor, assuming $r$ divides $n$. Extremal examples which show optimality of the bound on $\\delta(G)$ are very structured and, in particular, contain large independent sets. In analogy to the Ramsey-Tur\\'an theory, Balogh, Molla, and Sharifzadeh initiated the study of how the absence of such large independent sets influences sufficient minimum degree. We show the following two related results: $\\bullet$ For any $r > \\ell \\ge 2$, if $G$ is a graph satisfying $\\delta(G) \\ge (r - \\ell)n/(r - \\ell + 1) +\\Omega(n)$ and $\\alpha_\\ell(G)=o(n)$, that is, a largest $K_\\ell$-free induced subgraph has at most $o(n)$ vertices, then $G$ contains a $K_r$-factor. This is optimal for $\\ell = r - 1$ and extends a result of Balogh, Molla, and Sharifzadeh who considered the case $r = 3$. $\\bullet$ If a graph $G$ satisfies $\\delta(G) =\\Omega(n)$ and $\\alpha_r^*(G) =o(n)$, that is, every induced $K_r$-free $r$-partite subgraph of $G$ has at least one vertex class of size $o(n)$, then it contains a $K_r$-factor. A similar statement is proven for a general graph $H$.

研究の動機と目的

• 独立数制約の下で$K_r$-ファクターを含むグラフの最小次数条件を特定すること。これはHajnal-Szemerédiの定理を一般化する。
• 極値的グラフ理論とRamsey-Turán理論を統合し、Turán型の結論を$H$-ファクターの存在条件に置き換えること。
• $\ell = r-1$ の場合を解明し、$\alpha_{r-1}(G) = o(n)$ の下で $\delta(G) \geq (1/2 + \varepsilon)n$ が十分であることを示し、既知の極値的境界と一致することを確認すること。
• $\ell < r-1$ の場合に独立数制約を$K_\ell$-自由性に一般化し、$\ell \leq r/2$ の場合にタイトな境界を確立すること。
• $\alpha_\ell(G) = o(n)$ の下で$K_r$-タイリングの閾値を特定し、三角形ファクターの結果を一般の$r$-クリークに拡張すること。

提案手法

• 稠密なグラフにおいて$K_r$-ファクターを埋め込むために、正則化法とブLOW-up補題を用いる。この際、$K_\ell$-自由部分グラフの構造を制御する。
• 従属した確率的選択法を用いて、高い最小次数と多数の$K_\ell$-コピーを持つ大きな部分集合を同定する。
• $K_{\ell+1}$-自由グラフ $\Gamma_\ell(n)$ を用いた極値的グラフの構築：$\alpha_\ell(G) = o(n)$ かつ最大次数が$o(n)$ である。
• 背理法と帰納法による証明：$K_r$-ファクターが存在しないと仮定し、$K_\ell$-自由性の条件を用いて次数の矛盾を導出する。
• 反復的埋め込みと密度条件を活用し、$\alpha_\ell(G) = o(n)$ の下で $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ の最小次数閾値を確立する。
• 確率的技法を用いて、大きな近傍に$K_\ell$-コピーが存在することを示し、Ramsey-Turán制約により$K_r$-タイリングが完成することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r > \ell \geq 2$ の場合に、$\alpha_\ell(G) = o(n)$ の下で$G$ が$K_r$-ファクターを含むための最適な最小次数条件は何か？
• RQ2 当該境界 $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ は $\ell < r-1$ の場合にもタイトか？
• RQ3 $\alpha_\ell(G) = o(n)$ より弱いグローバル制約（例えば$r$-部グラフ内）の下でも$K_r$-ファクターが保証されるか？
• RQ4 $\ell = r-1$ の極値的構成と $\ell < r-1$ の場合を比較すると、最小次数と$K_r$-ファクターの障害の観点でどのように異なるか？
• RQ5 最小次数条件 $\delta(G) \geq (r-2)n/r + o(n)$ の下で、すべての頂点を除く$O(1)$個の頂点を除き$K_r$-タイリングが達成可能か？

主な発見

• $r > \ell \geq 2$ の場合、$\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ かつ $\alpha_\ell(G) = o(n)$ ならば、$G$ は$K_r$-ファクターを含む。$\ell = r-1$ の場合に最適性が示されている。
• $\ell = r-1$ の場合、境界 $\delta(G) \geq (1/2 + \varepsilon)n$ は最適であり、二つのサイズ $n/2 \pm 1$ のクリークからなる極値的構成と一致する。
• $\ell \leq r/2$ の場合、極値的構成により $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r}n$ が必要であることが示され、一方で定理では $\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r-\ell+1}n + \Omega(n)$ が得られるため、境界にギャップがある。
• 本稿では、$\delta(G) = \Omega(n)$ かつ $\alpha_r^*(G) = o(n)$（任意の誘導$K_r$-自由$r$-部グラフにおいて、あるクラスのサイズが$o(n)$）ならば$K_r$-ファクターが存在することを証明し、これは任意の$H$-ファクターへの一般化を可能にする。
• 構成により、$\ell \leq r/2$ の場合、$\delta(G) \geq \frac{r-\ell}{r}n$ が必要であり、極値例における下界と一致する。これは、$\ell < r-1$ の場合、上界がタイトでないことを示唆する。
• 本稿は、$\ell = r-1$ の場合に質問1.1を解決し、境界がタイトであることを示した。一方、$2 \leq \ell < r-1$ の場合の正確な閾値は未解決のまま残されている。