[論文レビュー] On a random recursion related to absorption times of death Markov chains

Alexander Iksanov, Martin Möhle|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ I_n $ がパワー・テール分布に従うランダム再帰 $ X_n \overset{d}{=} X_{n-I_n} + 1 $ を用いて、死滅マルコフ連鎖における吸収時間の漸近的挙動を研究する。カップリングとサブオルジネーター極限を用い、$ \xi $ の尾部に応じて安定分布またはミットァグ・レフラー分布への弱収束を確立する。主な結果は、$ \beta(a,1) $-共析および一般の $ \Lambda $-共析に適用可能である。

ABSTRACT

Let $X_1,X_2,...$ be a sequence of random variables satisfying the distributional recursion $X_1=0$ and $X_n= X_{n-I_n}+1$ for $n=2,3,...$, where $I_n$ is a random variable with values in $\{1,...,n-1\}$ which is independent of $X_2,...,X_{n-1}$. The random variable $X_n$ can be interpreted as the absorption time of a suitable death Markov chain with state space ${\mathbb N}:=\{1,2,...\}$ and absorbing state 1, conditioned that the chain starts in the initial state $n$. This paper focuses on the asymptotics of $X_n$ as $n$ tends to infinity under the particular but important assumption that the distribution of $I_n$ satisfies ${\mathbb P}\{I_n=k\}=p_k/(p_1+...+p_{n-1})$ for some given probability distribution $p_k={\mathbb P}\{ξ=k\}$, $k\in{\mathbb N}$. Depending on the tail behaviour of the distribution of $ξ$, several scalings for $X_n$ and corresponding limiting distributions come into play, among them stable distributions and distributions of exponential integrals of subordinators. The methods used in this paper are mainly probabilistic. The key tool is a coupling technique which relates the distribution of $X_n$ to a random walk, which explains, for example, the appearance of the Mittag-Leffler distribution in this context. The results are applied to describe the asymptotics of the number of collisions for certain beta-coalescent processes.

研究の動機と目的

• 状態空間が $ \mathbb{N} $ で吸収状態が 1 である死滅マルコフ連鎖における吸収時間 $ X_n $ の漸近的分布を理解すること。
• $ \mathbb{P}(I_n = k) = p_k / (p_1 + \cdots + p_{n-1}) $ を仮定するとき、$ X_n $ の極限挙動を特徴づけること、ここで $ p_k = \mathbb{P}(\xi = k) $ である。
• $ \xi $ の尾部に応じて、$ X_n $ が安定分布またはミットァグ・レフラー分布に弱収束する条件を同定し、弱収束結果を確立すること。
• $ \beta(a,1) $-共析過程における衝突回数に結果を適用し、特に $ 0 < a < 2 $ の場合を考察すること。

提案手法

• $ X_n $ の分布をランダムウォークに関連付けるカップリング技法を用い、確率過程の極限定理の適用を可能にする。
• $ I_n $ が $ X_2, \ldots, X_{n-1} $ と独立で、$ \mathbb{P}(I_n = k) \propto p_k $ であるランダム再帰 $ X_n \overset{d}{=} X_{n-I_n} + 1 $ を用いる。
• 無限可分性およびサブオルジネーターの道具、特にサブオルジネーターの指数積分を用いて極限分布を導出する。
• $ \alpha $-安定分布の特性関数を用いて弱極限を特徴づけ、$ \alpha \in [1,2] $ の場合に明示的な形を提示する。
• $ \xi $ のモーメント条件が異なる場合に、弱大数法則および中心極限定理型の定理を確立する。
• $ \Lambda $-共析過程に結果を適用する際、$ X_n $ の再帰構造と衝突時間分布を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 死滅マルコフ連鎖の吸収時間 $ X_n $ が弱大数法則を満たす条件は何か？
• RQ2 正規化された吸収時間 $ (X_n - b_n)/a_n $ が非退化極限に弱収束するのはいつか？ その極限分布は何か？
• RQ3 ジャンプ分布 $ \xi $ の尾部特性が $ X_n $ の極限挙動にどのように影響するか？
• RQ4 結果は共析過程、特に $ \beta(a,1) $-共析に適用可能か？ その場合、漸近的衝突回数を記述できるか？
• RQ5 特に $ \mathbb{E}\xi = \infty $ の場合に $ I_n $ が $ \xi $ に収束する速度が遅いとき、$ X_n $ の極限挙動はどのように変化するか？

主な発見

• $ \sum_{m=1}^n \sum_{k=m}^\infty p_k \sim L(n) $ が成り立つ（$ L $ はゆっくり変化する関数）ならば、$ X_n / \mathbb{E}X_n \overset{P}{\to} 1 $ であり、$ \mathbb{E}X_n \sim n / L(n) $ である。
• $ \mathbb{E}\xi = m < \infty $ のとき、$ \mathbb{E}X_n \sim n/m $ であり、$ X_n $ は $ X_n / (n/m) \overset{P}{\to} 1 $ を満たす弱大数法則に従う。
• $ \sigma^2 = \mathrm{Var}(\xi) < \infty $ のとき、$ (X_n - n/m)/a_n \Rightarrow \mu_2 $ であり、$ a_n = (m^{-3} C^{-1} \sigma^2 n)^{1/2} $ である。ここで $ \mu_2 $ は正規分布である。
• $ \sigma^2 = \infty $ かつ $ \sum_{k=1}^n k^2 p_k \sim n^{2-\alpha} L(n) $ のとき、$ (X_n - n/m)/a_n \Rightarrow \mu_\alpha $ であり、$ \alpha \in [1,2) $ の $ \alpha $-安定分布である。
• $ \beta(a,1) $-共析で $ 0 < a < 1 $ のとき、$ (X_n - n(\alpha - 1)) / (n^{1/\alpha}) \Rightarrow \mu_\alpha $ であり、$ \alpha = 2 - a \in (1,2) $ である。
• $ \beta(a,1) $-共析で $ a \geq 2 $ の場合、キーモデルの仮定 $ \mathbb{P}(I_n = k) \propto p_k / \sum_{j=1}^{n-1} p_j $ が破綻するため、本手法は不成立である。