[論文レビュー] On a relation between the Szeged index and the Wiener index for bipartite graphs

Lily Chen, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Graph theory and applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$ n \geq 4 $ 頂点および $ m \geq n $ 辺をもつ二部連結グラフについて、Hansenの予想を確認している。すなわち、Szeged指数とWiener指数の差は $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ を満たす。証明はブロック分解と辺寄与分析を用い、等号が成立するのは $ C_4 $ が $ n-3 $ 個の頂点をもつ木と一つの頂点を共有する場合に限ることを示している。二部構造のおかげで、この結果は修正Szeged指数に対しても拡張可能である。

ABSTRACT

{\small The Wiener index $W(G)$ of a graph $G$ is the sum of the distances between all pairs of vertices in the graph. The Szeged index $Sz(G)$ of a graph $G$ is defined as $Sz(G)=\sum_{e=uv \in E}n_u(e)n_v(e)$ where $n_u(e)$ and $n_v(e)$ are, respectively, the number of vertices of $G$ lying closer to vertex $u$ than to vertex $v$ and the number of vertices of $G$ lying closer to vertex $v$ than to vertex $u$. Hansen used the computer programm AutoGraphiX and made the following conjecture about the Szeged index and the Wiener index for a bipartite connected graph $G$ with $n \geq 4$ vertices and $m \geq n$ edges: $$ Sz(G)-W(G) \geq 4n-8. $$ Moreover the bound is best possible as shown by the graph composed of a cycle on 4 vertices $C_4$ and a tree $T$ on $n-3$ vertices sharing a single vertex. This paper is to give a confirmative proof to this conjecture.

研究の動機と目的

• すべての $ n \geq 4 $ 頂点および $ m \geq n $ 辺をもつ二部連結グラフについて、$ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ であるというHansenの予想を証明すること。
• 極値グラフ（$ C_4 $ が $ n-3 $ 個の頂点をもつ木と一つの頂点を共有するグラフ）を特定することで、この不等式のタイトネスを確立すること。
• 二部グラフにおいて、同じ不等式が修正Szeged指数 $ Sz^*(G) $ に対しても成り立つことを示し、拡張すること。
• 2-連結および一般の二部グラフにおいて、ブロック分解と辺寄与分析に基づく構造的証明を提供すること。

提案手法

• グラフをブロックに分解し、頂点対の寄与を関数 $ \mu_{x,y}(e) $ を用いてSzegend指数への辺寄与を追跡することで、$ Sz(G) - W(G) $ の寄与を分析する。
• 恒等式 $ Sz(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) $ および $ W(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} d(x,y) $ を用い、$ Sz(G) - W(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} \left( \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \right) $ を得る。
• すべての頂点対 $ x,y $ に対して、$ \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \geq 1 $ が成り立つことを示し、特定の状況では厳密な不等号が成り立つことを、最短経路および第二短経路とサイクル構造を用いて証明する。
• ブロック構造を持つグラフを分析する際、同じブロック内、異なるブロック間の頂点対を考慮し、ブロック間の経路はカット頂点を通らなければならないという事実を利用する。
• 各ブロックからの寄与をグループ化し、特に $ n_1 \geq 4 $ および $ i \geq 2 $ のとき $ n_i = 2 $ となるように、ブロックサイズ $ n_i $ に基づいた不等式を適用することで、合計の下界を確立する。
• 二部グラフでは $ n_0(e) = 0 $ であるため $ Sz^*(G) = Sz(G) $ であり、したがって両方の指数に対して同時に結果が証明できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ n \geq 4 $ および $ m \geq n $ の二部連結グラフについて、不等式 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ が成り立つか。
• RQ2 予想された不等式の等号を達成する極値グラフは何か。
• RQ3 同じ下界が二部グラフにおける修正Szeged指数 $ Sz^*(G) $ に対しても成り立つか。
• RQ4 ブロック分解と経路多重性分析を用いて、差 $ Sz(G) - W(G) $ を下から抑えられるか。
• RQ5 すべての頂点対に対して $ \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \geq 1 $ が成り立つ構造的条件は何か。

主な発見

• すべての $ n \geq 4 $ 頂点および $ m \geq n $ 辺をもつ二部連結グラフについて、予想 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ が成立する。
• 等号が成り立つのは、$ C_4 $ サイクルと $ n-3 $ 個の頂点をもつ木がちょうど一つの頂点を共有するグラフである場合に限る。
• $ C_4 $-tree 構成によって、この下界がタイトであり、改善できないことが示された。
• $ k \geq 5 $ の場合、不等式 $ n_1(n - n_1) \geq 4(n - 4) $ を用いて $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ が確認され、$ n_1 = 4 $ かつ他のすべてのブロックがサイズ2のときに等号が成立する。
• $ k = 2,3,4 $ の場合、同じ極値グラフ構造のもとで $ n = 5,6,7 $ で等号が成立し、不等式は依然として成り立つ。
• 二部グラフでは $ n_0(e) = 0 $ であるため $ Sz^*(G) = Sz(G) $ であり、したがって $ Sz^*(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ も成り立つ。これにより、予想1.2が確認された。